Oblicz wartość szeregu ( z logarytmem naturalnym )

[crookie]

Oblicz wartość szeregu:

\( \sum\limits_{n = 2}^{\infty} \ln ( 1 - \frac{1}{n^{2}})\)

wyzanaczyłem dziedzinę: \( D = (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)

no i na tym w sumie się skończyło...

ta wartość będzie raczej na minusie albo równa zero - wnioskuję z tego, że \( 1 - \frac{1}{n^{2}} \) zbliża się cały czas do 1, w której \( \ln \) przyjmuję wartość 0, ale w sumie nie wiem czy dobrze to rozumuję

Mam jeszcze wskazówkę, mam skorzystać z : \( \prod\limits_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^{2}}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n}) \), ale zbytnio też nie wiem jak to wszystko połączyć. Dziękuję za wszystkie wskazówki

[Icanseepeace]

wyzanaczyłem dziedzinę: \( D = (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)

?!
\( S_n = \sum\limits_{k=2}^n \ln (1 - \frac{1}{k^2}) = \ln \left( \prod\limits_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k^2}) \right) = \ ... \ \to \ ... \)

[crookie]

Co jest nie tak z dziedziną? Czy jej tutaj w ogóle nie powinno być?

I skąd te przekształcenie? Nie wiem właśnie kompletnie dlaczego z sumy powstaje nam sam \( \ln \) i dlaczego możemy skorzystać z tej wskazówki. Nie rozumiem dlaczego te przekształcenia są możliwe

[Jerry]

Co jest nie tak z dziedziną? Czy jej tutaj w ogóle nie powinno być?

\(D=\{k\in\cc_+;\ 1-{1\over k^2}>0\}=\{2,3,4,\ldots\}\)

I skąd te przekształcenie?

Znasz:
\(\ln x_2+\ln x_3+\ln x_4+\ldots=\ln(x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot\ldots)\)

... dlaczego możemy skorzystać z tej wskazówki.

Bo ktoś Ci to zasugerował?

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Co jest nie tak z dziedziną? Czy jej tutaj w ogóle nie powinno być?

Zależy co rozumiesz przez dziedzinę i do jakieś zmiennej się ona odnosi (bo przecież nie do \( n \) ponieważ są to liczby naturalne[/tex]

I skąd te przekształcenie? Nie wiem właśnie kompletnie dlaczego z sumy powstaje nam sam \( \ln \) i dlaczego możemy skorzystać z tej wskazówki. Nie rozumiem dlaczego te przekształcenia są możliwe

Jest to prosta konsekwencja wzoru znanego z liceum: \( \ln(a) + \ln(b) = \ln(a \cdot b) \) dla dodatnich \(a,b\)
Jeżeli \( x_1 , \ldots , x_n \) są liczbami dodatnimi to zauważ:
\( \ln(x_1) + \ln(x_2) = \ln(x_1 \cdot x_2) \\ \ln(x_1) + \ln(x_2) + \ln(x_3) = \ln(x_1 \cdot x_2) + \ln(x_3) = \ln(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3) \)
i tak dalej aż do równości:
\( \ln(x_1) + \ldots \ln(x_n) = \ln(x_1 \cdot \ldots \cdot x_n) \)
Dlatego:
\( \sum\limits_{k = 1}^n \ln(x_k) = \ln ( \prod\limits_{k = 1}^n x_k ) \)
lub słownie: Suma logarytmów jest równa logarytmowi z iloczynu ich argumentów.