Ekstrema funkcji wielu zmiennych

[Jonus]

Znalezc ekstrema funkcji \(y=f(x)\) danej w postaci uwikłanej \(F(x,y)=0\):
\(x^2−2xy+5y^2−2x+4y+1=0\),

[panb]

Znalezc ekstrema funkcji \(y=f(x)\) danej w postaci uwikłanej \(F(x,y)=0\):
\(x^2−2xy+5y^2−2x+4y+1=0\),

\(\displaystyle{ y'(x)=- \frac{ \frac{ \partial F}{ \partial x} }{ \frac{ \partial F}{ \partial y} }=- \frac{2x-2y-2}{-2x+10y+4}= \frac{x-y-1}{x-5y-2} \\
\begin{cases}\frac{ \partial F}{ \partial x}=0\\F(x,y)=0\\ \frac{ \partial F}{ \partial y}\neq0\end{cases} \iff \begin{cases} x-y=1\\ (x-y)^2+4y^2-2x+4y+1=0\\x-5y-2\ne0\end{cases} \iff \begin{cases}x-y=1\\1+4y^2-2(x-y)+2y+1=0\\x-5y-2\ne0 \end{cases} \iff \\\iff
\begin{cases}x-y=1\\4y^2+2y=0\\x-5y-2\ne0 \end{cases} \iff \begin{cases}x=1\\y=0\\1-5 \cdot 0-2=-1\ne0\end{cases} \vee \begin{cases}x= \frac{1}{2} \\ y=-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} +5 \cdot \frac{1}{2} -2=1\ne0 \end{cases} }\)

Punkty, w których możliwe są ekstrema (punkty krytyczne), to \((1,0) \text{ oraz } \left( \frac{1}{2},- \frac{1}{2} \right) \).
Trzeba sprawdzić znak drugiej pochodne w tych punktach.
\(y''(x)=- \frac{ \frac{ \partial ^2F}{ \partial x^2} }{\frac{ \partial F}{ \partial y}} \) - dla punktów krytycznych. \(\displaystyle \frac{ \partial ^2F}{ \partial x^2}=2,\,\,\frac{ \partial F}{ \partial y}=-2x+10y+4\)
\((1,0) \So y''(1)=- \frac{2}{2}=-1<0 \) - maksimum w punkcie (1,0)
\(\left( \frac{1}{2},- \frac{1}{2} \right) \So y'' \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{2}{-2}>0 \) - minimum w punkcie \(\left( \frac{1}{2},- \frac{1}{2} \right)\)

Dodatkowo, rysunek ilustrujący sytuację (i potwierdzający obliczone ekstrema):