Równanie różniczkowe - zagadnienie początkowe Cauchy'ego

[agatakoss1]

Rozwiązać równanie różniczkowe:

\[xy'-3y=2x^5\]

Korzystając z punktu a rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego:

\[xy''-3y'=2x^5, y(2)=16, y'(2)=40\]

[panb]

Rozwiązać równanie różniczkowe:

\[xy'-3y=2x^5\]

Korzystając z punktu a rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego:

\[xy''-3y'=2x^5, y(2)=16, y'(2)=40\]

Najpierw równanie jednorodne: \(xy'-3y=0 \iff x \frac{dy}{dx}=3y \So \frac{dy}{y}= \frac{3}{x}dx \So \int\frac{dy}{y}= \int\frac{3}{x}dx \So \ln y=\ln cx^3 \So y=cx^3 \)
Uzmienniamy stałą tzn. \( c=c(x) \So xy'-3y=2x^5 \iff x(c'x^3+3cx^2)-3cx^3=2x^5 \iff c'x^4+3cx^3-3cx^3=2x^2 \\
c'=2x \So c=x^2+C\)

Zatem \[y=(x^2+C)x^3=Cx^3+x^5\] jest rozwiązaniem równania \(xy'-3y=2x^5\).

Jeśli weźmiemy \(u=y' \So xy''-3y'=2x^5 \iff xu'-3u=2x^5\). Rozwiązaniem tego równania jest \(u=Cx^3+x^5\)
Wobec tego \[u=y'=Cx^3+x^5 \So y=\int \left( Cx^3+x^5\right)dx \\ y= \frac{1}{4}Cx^4+ \frac{1}{6}x^6 +C_1\]

Stałe \(C \text{ i } C_1\) wyznacza się korzystając z warunków początkowych:
\(y(2)=4C+ \frac{64}{6}+C_1=16,\quad y'(2)=8C+32=40 \iff C=1,\quad C_1=16- \frac{32}{3}-4= \frac{4}{3} \).

Odpowiedź: \(y=\frac{1}{6}x^6+ \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3} \\ \text{ jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego: }
xy''-3y'=2x^5, y(2)=16, y'(2)=40\)