Równania sprowadzane do równań o rozdzielających się zmiennych

[m4rc3ll]

Część wszystkim, potrzebuje by ktoś pokazał mi jak rozwiązać to równanie:

\((2x-y+4)dy+(x-2y+5)dx=0\)

[Icanseepeace]

\( \frac{dy}{dx} = \frac{-x + 2y - 5}{2x - y + 4} = \frac{-x - 1 + 2y - 4}{2x + 2 - y + 2} \)
Podstawienie \( u = x + 1 , v = y - 2 \) daje:
\( \frac{dv}{du} = \frac{-u + 2v}{2u - v} = \frac{-1 + 2\frac{v}{u}}{2 - \frac{v}{u}} \)
a to jest już równanie jednorodne.

[m4rc3ll]

Rozpisał byś mi to do końca?

[Icanseepeace]

Nie chcesz spróbować sam? Przecież w ten sposób niczego się nie nauczysz.
Idąc standardowym schematem dokonujemy podstawienia: \( t(u) = \frac{v(u)}{u} \)
Mnożąc przez \( u \) i różniczkując: \( u\frac{dt}{du} + t = \frac{dv}{du} \)
Wstawiając do równania:
\( \frac{dt}{du} + t = \frac{-1 + 2t}{2 - t} \\ \frac{dt}{\frac{-1 + 2t}{2 - t} - t} = \frac{du}{u} \\
\frac{2 - t}{-1 + 2t - 2t + t^2} dt = \frac{du}{u} \\
\frac{2 - t}{t^2 - 1} dt = \frac{du}{u} ​\)
Powyższe równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.
To najprostszy typ równania, więc z nim już musisz powalczyć sam.
Potem pozostaje tylko powracać z podstawieniami.
Sprawdź też obliczenia, mogłem się gdzieś walnąć.