Rozwiązac równanie różniczkowe:

[cainvrd]

\(y'-2y=t\)

[panb]

\(y'-2y=t\)

Najpierw jednorodne: \(y'-2y=0 \iff y'=2y \iff \frac{dy}{dt}=2y \iff \frac{dy}{y}=2dt \So \int \frac{dy}{y}=2\int dt \So \ln y=2t+c \\ y=Ce^{2t}\)

Znajdowanie rozwiązanie ogólnego (metoda uzmienniania stałej)
\(C=C(t) \So y'= \left( C(t)\cdot e^{2t}\right)'=C'(t)e^{2t} +2C(t)e^{2t}\\
y'-2y=t \iff C'(t)e^{2t} +2C(t)e^{2t}-2C(t)e^{2t}=t \So C'(t)=te^{-2t} \So C(t)=\int te^{-2t}\,{dt}\\
\int te^{-2t}\,{dt}= \begin{vmatrix}u=t&du=dt\\ dv=e^{-2t}dt & v=- \frac{1}{2}e^{-2t} \end{vmatrix}=- \frac{1}{2}te^{-2t}+ \frac{1}{2} \int e^{-2t}\,{dt}=- \frac{1}{2}te^{-2t}- \frac{1}{4}e^{-2t}+C \)
Wobec tego
\[y=C(t)e^{2t}= \left( - \frac{1}{2}te^{-2t}- \frac{1}{4}e^{-2t}+C\right) e^{2t}=Ce^{2t}- \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}, \quad C\in\rr\]