Zbadać zbieżność szeregu

[mela1015]

Zbadać zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n} \)

Ten szereg będzie rozbieżny bezwzględnie ale czy on będzie zbieżny ??

[panb]

Zbadać zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n} \)

Ten szereg będzie rozbieżny bezwzględnie ale czy on będzie zbieżny ??

Niech \(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n} \\
\text{Wtedy } e^{-i}S= \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in-1}}{n}=1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n+1}\\
(1-e^{-i})S= \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n}-1- \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n+1}=-1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) e^{in}=-1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n(n+1)}\\
\text{Teraz } |(1-e^{-i})S|\le 1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \left| \frac{e^{in}}{n(n+1)} \right|=1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{1}{n(n+1)}=1+ \sum_{n=1}^{+ \infty } \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)=1+1=2}\)

Zatem \(|(1-e^{-i})S|\le2\), a to oznacza, że \(|S|<\infty\), czyli szereg \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{e^{in}}{n} \) jest zbieżny