Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera

[paskulina7]

Proszę o rozwiązanie takiego przykładu, nie wiem jak się za to zabrać i chciałabym poznać schemat działania.
Znajdź rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji: \( \sin^{2}{ t}\)

[panb]

Proszę o rozwiązanie takiego przykładu, nie wiem jak się za to zabrać i chciałabym poznać schemat działania.
Znajdź rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji: \( \sin^{2}{ t}\)

Funkcja \(f(t)=\sin^2t\) jest okresowa o okresie \(2T=2\pi\). Jest też całkowalna w przedziale \([-\pi, \pi]\)
\[\int \sin^2 t dt=\int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2t \right)\,{dt}= \frac{1}{2}t- \frac{1}{4}\sin2t +C \].
Można ją rozwinąć w szereg Fouriera postaci \[ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_n\cos \left( \frac{n\pi t}{T}\right)+b_n\sin \left( \frac{n\pi t}{T} \right) \right) \]
Ponieważ funkcja f jest parzysta \(b_n=0, \text{ dla } n=1, 2, ...\) i szereg Fouriera ma postać:
\[f(t)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos \left( \frac{n\pi t}{\pi}\right)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nt)\]
gdzie \(\displaystyle a_0= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,{dt}, \quad a_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos \left( \frac{n\pi t}{T} \right)\,{dt} , \text{ dla } n=1, 2, ... \)

\(\displaystyle{ a_0= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2t\,{dt}= \frac{1}{\pi}\cdot \pi=1\\
a_1= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2t\cos t\,{dt}= \begin{bmatrix} \frac{\sin^3t}{3} \end{bmatrix}_{-\pi}^{\pi} =0\\
a_2= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2t\cos(2t)\,{dt} = \ldots = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left(- \frac{1}{4}+ \frac{1}{2}\cos2t- \frac{1}{4}\cos4t \right) \,{dt}=\\ \qquad = \frac{1}{\pi} \left[ - \frac{t}{4}+ \frac{1}{4}\sin2t- \frac{1}{16}\sin4t \right]_{-\pi}^{\pi}= \frac{1}{\pi} \cdot \left(- \frac{\pi}{2} \right) =- \frac{1}{2} \\
a_3= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2t\cos3t\,{dt} =0=a_k, \text{ dla } k=4, 5, ...} \)

Wobec tego \[\sin^2t= \frac{1}{2}- \frac{1}{2}\cos2t \] jest szukanym rozwinięciem w szereg Fouriera.