Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
m4rc3ll
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 24 lis 2020, 21:13
Podziękowania: 94 razy
Płeć:

Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: m4rc3ll »

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4}{n(n+4)}\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: kerajs »

\(\sum_{n=1}^{ k } \frac{4}{n(n+4)}=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}-( \frac{1}{k+1}+ \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3}+ \frac{1}{k+4}) \)
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4}{n(n+4)}=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}\)
m4rc3ll
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 24 lis 2020, 21:13
Podziękowania: 94 razy
Płeć:

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: m4rc3ll »

Trochę ciężko jest mi zrozumieć tutaj regułę "redukowania" wyrazów, bo rozkładając to na ułamki proste otrzymałem \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} \), chyba że tutaj trzeba zastosować inny patent
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2021, 18:30 przez m4rc3ll, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: Jerry »

Może
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4}{n(n+4)}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+4-n}{n(n+4)}=\sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+4}\right)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}-\sum_{n=5}^{ \infty } \frac{1}{n}\)
pomoże

Pozdrawiam

[edited] znowu spóźniony... :(
m4rc3ll
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 24 lis 2020, 21:13
Podziękowania: 94 razy
Płeć:

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: m4rc3ll »

Jerry pisze: 11 kwie 2021, 18:30 Może
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4}{n(n+4)}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+4-n}{n(n+4)}=\sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+4}\right)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}-\sum_{n=5}^{ \infty } \frac{1}{n}\)
pomoże

Pozdrawiam

[edited] znowu spóźniony... :(
Okej super, redukcja zaczyna się od 5 wyrazu, jeszcze mógłbym prosić o napisanie jak po redukcji będzie wyglądało to dla "n" wyrazów?
m4rc3ll
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 24 lis 2020, 21:13
Podziękowania: 94 razy
Płeć:

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: m4rc3ll »

\( \Lim_{n\to \infty } (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{n-5}- \frac{1}{n+4}) \)?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: Jerry »

m4rc3ll pisze: 11 kwie 2021, 18:34 ...jeszcze mógłbym prosić o napisanie jak po redukcji będzie wyglądało to dla "n" wyrazów?
Przecież masz policzyć tylko nieskończoną sumę...

Pozdrawiam
m4rc3ll
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 24 lis 2020, 21:13
Podziękowania: 94 razy
Płeć:

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: m4rc3ll »

Jerry pisze: 11 kwie 2021, 18:46
m4rc3ll pisze: 11 kwie 2021, 18:34 ...jeszcze mógłbym prosić o napisanie jak po redukcji będzie wyglądało to dla "n" wyrazów?
Przecież masz policzyć tylko nieskończoną sumę...

Pozdrawiam
A co w przypadku,, gdy trzeba wykazać zbieżność? Oczywiście ten szereg jest zbieżny ale co z "n" wyrazami?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: Jerry »

m4rc3ll pisze: 11 kwie 2021, 18:49 A co w przypadku,, gdy trzeba wykazać zbieżność?
Policzalność sumy zagwarantuje Ci zbieżność :idea:

Pozdrawiam

[edited] po poniższym, poprawka redakcyjna
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1436
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 388 razy

Re: Oblicz sumę szeregu (jeśli istnieje):

Post autor: janusz55 »

"Policzalność sumy Ci zagwarantuje Ci zbieżność" - to "Ci Ci " jest nieprawdą.
ODPOWIEDZ