Obliczyć całkę

[Zibi123]

Obliczyć całkę \(K_n= \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2 } } \sin ^nx dx\) dla n=0,1,2,...

Wiem że \(\int \sin ^nx dx = \frac{-1}{n} \sin ^{n-1} x \cos x+ \frac{n-1 }{n} \int \sin ^{n-2}xdx\) ale nie wiem co dalej, jak to wyliczyć

[Icanseepeace]

\( K_0 = \frac{\pi}{2} \)
\( K_1 = 1 \)
Teraz zauważamy, że bez względu na n mamy:
\( \frac{-1}{n} \sin^{n-1}x \cos x |_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - 0 = 0 \)
Dlatego:
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n(x) dx = \frac{n - 1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-2}(x) dx \)
Wzór możemy zatem zapisać w następującej postaci:
\( K_n = \frac{n-1}{n}K_{n-2} \)
Rozważamy przypadki gdy n jest parzyste i gdy n jest nieparzyste.
Gdy n jest parzyste:
\( K_2 = \frac{1}{2} K_0 \)
\( K_4 = \frac{3}{4} K_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} K_0 \)
\( K_6 = \frac{5}{6} K_4 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} K_0 \)
itd. Ostatecznie:
\( K_n = \frac{(n-1) \cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 1}{n \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 4 \cdot 2} K_0 \)
Jeżeli znasz symbol silni podwójnej możesz uprościć zapis.
Analogiczne rozumowanie przeprowadzasz w przypadku gdy n jest nieparzyste.