Funkcja

[Zibi123]

Naszkicować wykres funkcji \(y=xe^{-ax}\), gdzie \(a>0\) jest ustalone. Obliczyć pole \(P_a\) figury ograniczonej krzywymi \(y=xe^{-ax}\), \(y=0\) (czyli chodzi o część leżącą nad przedziałem \([0, \infty) \)

[panb]

Naszkicować wykres funkcji \(y=xe^{-ax}\), gdzie \(a>0\) jest ustalone. Obliczyć pole \(P_a\) figury ograniczonej krzywymi \(y=xe^{-ax}\), \(y=0\) (czyli chodzi o część leżącą nad przedziałem \([0, \infty) \)

Wykres dla \(a=0,5\)

Pole, o którym mowa w zadaniu to w tym przypadku:

Najpierw całka nieoznaczona, bo na całce się to skończy.
\[\int xe^{-ax}\,{dx}\stackrel{\text{przez części}}{=} \begin{vmatrix} u=x& du=dx \\ dv=e^{-ax}\,{dx}& v=- \frac{1}{a}e^{-ax} \end{vmatrix}=- \frac{1}{a}xe^{-ax}+ \frac{1}{a} \int e^{-ax}\,{dx} =- \frac{e^{-ax}(ax+1)}{a^2} \]

\[P_a= \int_{0}^{+\infty}xe^{-ax}\,{dx} = \Lim_{n\to \infty } \left( \int_{0}^{n}xe^{-ax}\,{dx} \right)= \Lim_{n\to \infty } \left( - \frac{e^{-an}(an+1)}{a^2}+ \frac{1}{a^2} \right) = \frac{1}{a^2} \cdot \Lim_{n\to \infty } \left(1- \frac{an+1}{e^{an}} \right)= \frac{1}{a^2} \]