Całka niewłaściwa

[enta]

Oblicz \(\int_{0}^{ \infty } e^{-x} x^n dx\)

[Icanseepeace]

Czy to przypadkiem nie będzie po prostu \( \Gamma(n+1) \) ?

[enta]

A jak to policzyć? Muszę to jakoś rozpisać a nie mam pojęcia jak

[tomgronek]

Przez części i do wzoru rekurencyjnego

[Icanseepeace]

A jak to policzyć?

To jest definicja, więc z niech się korzysta a nie liczy.
Ponadto z własności funkcj gamma wiemy, że
\( \Gamma(n+1) = n! \)
Więcej tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%93

[enta]

Niestety nadal nie wiem jak to rozpisać rozpisałam na części i wyszło mi coś takiego \(- e^{-x} x^n+n \int x^{n-1}e^{-x} dx\) i jak dalej?

[Icanseepeace]

Teraz:
\( -e^{-x}x^n|_0^{\infty} = \lim\limits_{c \to \infty} (-e^{-c}{c^n}) + e^0x^0 = 0 \)
Dlatego:
\( \int_0^{\infty} e^{-x}x^n dx = n \cdot \int_0^{\infty} e^{-x} x^{n-1} dx \)
Następnie procedurę całkowania przez części powtarzasz jeszcze n - 1 razy dostając:
\( \int_0^{\infty} e^{-x}x^n dx = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1 \cdot \int_0^{\infty} e^{-x} dx = n! \)