Całka

[peresbmw]

Oblicz \(\int_{0 }^{ \pi } \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx\)

[Icanseepeace]

Ponieważ funkcja \( f(x) = \tg(\sin x) \) jest funkcją nieparzystą a przedział jest symetryczny mamy:
\( \int_0^{\pi} \tg(\cos x)) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tg(\sin x) dx = 0 \)
Dalej stosując całkowanie przez części:
\( \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2x} dx = -x\tg(\cos x)|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \tg(\cos x)) dx = \frac{\pi^2}{4}\)

[peresbmw]

Nie bardzo rozumiem skąd się wziął tg?

[Icanseepeace]

Nie bardzo rozumiem skąd się wziął tg?

Słusznie.
Zamiast \( \tan (x) \) wszędzie powinien być \( \arctan (x) \)

[peresbmw]

A skąd my to wiemy że będzie arctan(x)?

[Icanseepeace]

Liczysz całkę przez części :
\( u = x , u' = 1 \\
v' = \frac{\sin x}{1 + \cos^2x} , v = \arctg(\cos x) \)