Obliczyc całkę

[enta]

Obliczyć całkę \(\int_{0}^{1} \frac{x^4 +1}{x^6+1} dx\)

[kerajs]

\(x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^2- \sqrt{3}x+1)(x^2+ \sqrt{3}x+1)\)

[enta]

Dobrze a jak rozpisać licznik?, coś mi się poskraca z mianownikiem ?

[kerajs]

Ponieważ nie mam z pomysłu na sztuczkę to proponowałem rozkład na ułamki proste:
\( \frac{x^4+1}{x^6+1}= \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2- \sqrt{3}x+ 1}+\frac{Ex+F}{x^2+ \sqrt{3}x+ 1}\)

[enta]

Niestety nie mogę tego wyliczyć cały czas za dużo niewiadomych, nie bardzo się skracają

[panb]

Jest 6 równań i 6 niewiadomych.
\((Ax+B)(x^4-x^2+1)+(Cx+d)(x^2+1)(x^2+\sqrt3 x+1)+(Ex+F)(x^2-\sqrt3+1)\equiv x^4+1\)

Po opuszczeniu nawiasów i porównaniu współczynników otrzymuje się układ równań:
\( \begin{cases}A+C+E=0\\B+D+F=1\\B+\sqrt3 C+D-\sqrt3 E+F=1\\ -A+2C+\sqrt3D+2E-\sqrt3F=0\\-B+\sqrt3C+2D-\sqrt3E+2F=0\\A+C+\sqrt3D+E-\sqrt3F=0 \end{cases} \)

Układ jest koszmarny, ale rozwiązania przyjemne:
\(A=C=E=0,\quad B= \frac{2}{3},\quad D=F=\frac{1}{6}\)

[enta]

Ok dzięki chyba się już doliczyłam