Szeregi

[bananowy2213]

Zbadaj zbieżność następujących szeregów:
3.35\(\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\frac{n!}{100^n\:}\)
3.37\(\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^{\frac{1}{2}n}\)
3.42\(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\log _{ }\left(n\right)}{2^n}\)
3.71\(\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^3+n}-\sqrt[3]{n^3-n}\right)\)

[radagast]

Zbadaj zbieżność następujących szeregów:
3.35\(\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\frac{n!}{100^n\:}\)

rozbieżny na podstawie kryterium d' Alemberta

[radagast]

Zbadaj zbieżność następujących szeregów:

3.37\(\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^{\frac{1}{2}n}\)

Zbieżny na podstawie kryterium Cauchy'ego

[radagast]

Zbadaj zbieżność następujących szeregów:

3.42\(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\log _{ }\left(n\right)}{2^n}\)

\(\frac{\log _{ }\left(n\right)}{2^n}< \frac{n}{2^n} \)
tymczasem szereg \(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n}{2^n}\) jest zbieżny (np na podstawie kryterium Cauchy'ego)
No to na podstawie kryterim porównawczego szereg \(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\log _{ }\left(n\right)}{2^n}\) również jest zbieżny

[radagast]

Zbadaj zbieżność następujących szeregów:

3.71\(\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^3+n}-\sqrt[3]{n^3-n}\right)\)

\(\sqrt[3]{n^3+n}-\sqrt[3]{n^3-n}= \sqrt[3]{n }\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1} \right) =\sqrt[3]{n } \frac{n^3+n-n^3+n}{\sqrt[3]{(n^2+1)^2}+\sqrt[3]{n^2+1}\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{(n^2-1)^2}}=\\
\frac{2\sqrt[3]{n^4 }}{\sqrt[3]{(n^2+1)^2}+\sqrt[3]{n^2+1}\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{(n^2-1)^2}} = \frac{2\sqrt[3]{n^4 }}{\sqrt[3]{n^4+2n^2+1}+\sqrt[3]{n^4-1}+\sqrt[3]{n^4-2n^2+1}} \to \frac{2}{3} \neq 0 \)
No to rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego)

[Icanseepeace]

\(\sqrt[3]{n }\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1} \right) =\sqrt[3]{n } \frac{n^3+n-n^3+n}{\sqrt[3]{(n^2+1)^2}+\sqrt[3]{n^2+1}\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{(n^2-1)^2}}\)
No to rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego)

W liczniku po prawej stronie powinno być: \( n^2 + 1 - n^2 + 1 \) co oznacza, że szereg spełnia warunek konieczny.
Jednak jest on szeregiem rozbieżnym:
\( a_n = \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt[3]{n^3 - n} = \frac{n^3 + n - n^3 + n}{\sqrt[3]{(n^3+n)^2} + \sqrt[3]{n^6 - n^2} + \sqrt[3]{(n^3 - n)^2}} =
\frac{2n}{\sqrt[3]{(n^3+n)^2} + \sqrt[3]{n^6 - n^2} + \sqrt[3]{(n^3 - n)^2}}\)
Dobieramy ciąg \( b_n = \frac{1}{n} \) i korzystamy z kryterium porównawczego w postaci granicznej. W tym celu badamy granicę:
\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1 \)
Wyszła liczba skończona, więc oba szeregi są jednocześnie albo rozbieżne, albo zbieżne. Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny jako harmoniczny rzędu \( \alpha = 1 \) to również szereg \( \sum\limits_{n = 1}^{\infty} ( \sqrt[n]{n^3 + n} - \sqrt[3]{n^3 - n} ) \) jest rozbieżny.

[Icanseepeace]

\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1 \)

Mała poprawka i mam nadzieję, że jedyna:
\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{2}{3} \)