Logarytm

[MicTyb]

Oblicz \( \log_{16} 2 \sqrt{2} -3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }\)

Co zrobić z tym logarytmem w potędze?

[panb]

Oblicz \( \log_{16} 2 \sqrt{2} -3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }\)

Co zrobić z tym logarytmem w potędze?

• Wersja dla początkujących:
  \( \log_{16} 2 \sqrt{2}=\log_{16} \left(2 \cdot 2^{ \frac{1}{2} } \right)=\log_{16} 2^{ \frac{3}{2} }=x \iff 16^x=2^{ \frac{3}{2} },\,\,\,16=2^4, \text{ więc }\\
  \left(2^4 \right)^x =2^{ \frac{3}{2} } \iff 2^{4x}=2^{ \frac{3}{2} } \iff 4x= \frac{3}{2} \iff x= \frac{3}{8}\\
  \log_{16} 2 \sqrt{2}= \frac{3}{8} \)
  
  \(\displaystyle 3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }=y \So \frac{3}{\log_{5}3}=\log_3y \So \frac{3}{ \frac{\log_{3}3}{\log_{3}5} }=\log_{3}y \\
  3 \cdot \frac{\log_35}{\log_33}=\log_3y \So 3\log_35=\log_3y \iff \log_3y=\log_35^3 \iff y=5^3\\
  3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }=5^3\)
  Wniosek: \( \log_{16} 2 \sqrt{2} -3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }= \frac{3}{8}-5^3 \)

[panb]

Oblicz \( \log_{16} 2 \sqrt{2} -3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }\)

Co zrobić z tym logarytmem w potędze?

• Wersja dla zaawansowanych:
  \(\log_{16} 2 \sqrt{2}=\log_{2^4}2^{ \frac{3}{2} }= \frac{3}{2}\log_{2^4}2= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}\log_22= \frac{3}{8} \)
  
  \( \frac{1}{\log_ab}=\log_ba, \text{ więc} \\
  3^{ \frac{3}{ \log _5 3} }=3^{3 \cdot \log_35}=3^{\log_35^3}=5^3\)
  dalej, jak przedtem.