Całka

[EatonFS]

Oblicz całkę \( \int_{}^{} \sqrt{1+e^{ax}} \) dx

[janusz55]

Dwa podstawienia:

-pierwsze
\( u = -ax \)

- drugie
\( t = \sqrt{e^{-u} +1}. \)

[panb]

Oblicz całkę \( \int_{}^{} \sqrt{1+e^{ax}} \) dx

Albo:
\(\displaystyle{1+e^{ax}=t^2 \So ae^{ax}\,{dx}=2t\,{dt} \So dx= \frac{2tdt}{a(t^2-1)}\\
\int \sqrt{1-e^{ax}}\,{dx}= \frac{2}{a}\int \frac{t^2\,{dt}}{t^2-1}= \frac{2}{a}\int \left( \frac{1}{2(t-1)}- \frac{1}{2(t+1)}+1 \right)\,{dt} }\)

... i to już właściwie po wszystkim.

[EatonFS]

Dzięki mam tylko pytanie Jak została rozpisana ta ostatnia całka? W nawiasie

[panb]

Rozkład na ułamki proste.
\( \frac{t^2}{t^2-1}= \frac{t^2-1+1}{t^2-1}= \frac{1}{t^2-1}+1 \)

[Jerry]

KLasyczny rozkład na ułamki proste:
\(\frac{t^2}{t^2-1}= {t^2-1+1\over t^2-1}=1+{1\over (t-1)(t+1)}=1+{-{1\over2}\cdot(t-1-t-1)\over(t-1)(t+1)} =
\\ \qquad=1-{t-1\over2(t-1)(t+1)}+{t+1\over2(t-1)(t+1)}=1-{1\over2(t+1)}+{1\over2(t-1)} \)

Pozdrawiam

[edited] spóźniony , ale rachunki kompletne