Zbieżność szeregu + kryterium całkowe

[agatakoss1]

Witam,

jak według Was najlepiej podejść do tematu: zbadaj zbieżność szeregu. Myślałam o kryterium całkowym. Wykazałam, że f. przyjmuje wartości dodatnie i jest malejąca w przedziale \((1,+\infty)\).

Myślę teraz nad całką. Najlepiej przez podstawianie? Może ktoś mógłby mi podpowiedzieć


\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \cdot ln^2n}\]

[kerajs]

Tu całka wcale nie jest łatwa. Lepiej kryterium porównawcze

Dla \(n \ge 3\) zachodzi
\[\frac{1}{n^2 \cdot ln^2n}< \frac{1}{n^2} \]

Prawdziwym problemem jest n=1 w sumie.

[agatakoss1]

Dlaczego na dla n>3?

[kerajs]

Ponieważ:
\(\ln 1=0\\
0<\ln 2 <1 \\
\ln 3>1\\
\ln 4>1\\
\ln 5>1\\
....\)

[agatakoss1]

Ok, rozumiem. Mam zatem dwa pytania:
1. Czy n=1 nie powinno być odrzucone? Będziemy mieli w takim wypadku 0 w mianowniku?
2. Czy należy rozpatrzyć osobny warunek dla n=2?

[agatakoss1]

Myślę też nad kryterium kondensacyjnym, ale nie wiem czy to dobry trop.

[kerajs]

1. Czy n=1 nie powinno być odrzucone? Będziemy mieli w takim wypadku 0 w mianowniku?

Moim zdaniem to pomyłka autora. Jednak przy obecnej treści zadanie jest nierozwiązywalne, gdyż dla n=1 ciąg nie jest określony.

2. Czy należy rozpatrzyć osobny warunek dla n=2?

Należy jedynie stwierdzić że wyraz drugi jest ograniczony, co nie wpływa na zbieżność/rozbieżność sumy.

Myślę też nad kryterium kondensacyjnym, ale nie wiem czy to dobry trop.

Skoro zbieżność uzyskana z prostego porównania jest zbyt banalna, to owszem, można próbować ją wykazać inaczej, w tym i przez zagęszczanie. Ja jestem na to zbyt leniwy,

[agatakoss1]

1. Czy n=1 nie powinno być odrzucone? Będziemy mieli w takim wypadku 0 w mianowniku?

Moim zdaniem to pomyłka autora. Jednak przy obecnej treści zadanie jest nierozwiązywalne, gdyż dla n=1 ciąg nie jest określony.

Tak też myślałam. Super, dziękuję za pomoc

[janusz55]

\( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2\ln^2(n)} \ \ (1) \)

Bezpośrednie zastosowanie kryterium całkowego zbieżności dla szeregu \( (1)\)

\( \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2\ln^2(x)}dx \)

Całka nieoznaczona:

\( \int \frac{1}{x^2\ln^2(x)}dx \)

Podstawienia:

\( u = \ln(x) \)

\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \)

\( \frac{1}{x} = e^{-u} \)

\( \frac{1}{\ln^2(x)} = \frac{1}{u^2} \)

\( \int \frac{e^{-u}}{u^2}du \)

Całkowanie przez części

\( \int f\cdot g' = f\cdot g - \int f'\cdot g \)

\( f = e^{-u}; \ \ g' = \frac{1}{u^2}\)

\( f' = -e^{-u}; \ \ g = -\frac{1}{u} \)

\( = -\frac{e^{-u}}{u} - \int \frac{e^{-u}}{u} du \)

Całka

\( \int \frac{e^{-u}}{u} du = - \int - \frac{e^{-u}}{u} du = -E_{i}(u) \)

jest specjalną całką wykładniczą.

Stąd

\( -\frac{e^{-u}}{u} - \int \frac{e^{-u}}{u} du = E_{i}(u) - \frac{e^{u}}{u}= \)

Wracając do podstawienia:

\( \int \frac{1}{x^2\ln^2(x)} dx = E_{i}(\ln(x)) - \frac{1}{x\ln(x)} + C \)

Wartość przybliżona całki oznaczonej:

\( \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^2 \ln^2(x)}dx = E_{i}[-\ln(2)] + \frac{1}{\ln(4)}\approx 0.3426764773833937 \)

Całka jest zbieżna - na podstawie kryterium całkowego zbieżności szeregów - badany szereg jest zbieżny.