Korzystając z definicji obliczyć pochodną podanej funkcji

[damian28102000]

Cześć! Mam obliczyć korzystając z definicji pochodną podanej funkcji:
\(f(x)=e^{-x}; x_{0}=1\)

\(\lim _{x\to 1}\frac{\left(e^{-x}-e^{-1}\right)}{x-1}=???\)

[panb]

Cześć! Mam obliczyć korzystając z definicji pochodną podanej funkcji:
\(f(x)=e^{-x}; x_{0}=1\)

\(\lim _{x\to 1}\frac{\left(e^{-x}-e^{-1}\right)}{x-1}=???\)

Trzeba zastosować wzór: \( \Lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 \).
Podstawiając \(t=1-x\), mamy
\(\Lim _{x\to 1}\frac{\left(e^{-x}-e^{-1}\right)}{x-1}= \Lim_{t\to 0} \frac{e^{t-1}-e^{-1}}{-t} =- \Lim_{t\to 0} \frac{e^{-1}(e^t-1)}{t}=-e^{-1} \), czy jakoś tak.

[kerajs]

A może jednak tak:
\(f'(x)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(x+h)}-e^{-x}\right)}{h}= e^{-x}\Lim_{h\to 0} \frac{e^{-h}-1}{h} =....\\
f'(1)=....\)
albo tak:
\(f'(1)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(1+h)}-e^{-1}\right)}{h}= e^{-1}\Lim_{h\to 0} \frac{e^{-h}-1}{h} =....\)

Puryści oczekiwaliby sprawdzenia czy tak samo jest dla:
\(f'(x)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(x)}-e^{-(x-h)}\right)}{h}= e^{-x}\Lim_{h\to 0} \frac{1-e^{h}}{h} =....\\
f'(1)=....\)
albo :
\(f'(1)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-1}-e^{-(1-h)}\right)}{h}= e^{-1}\Lim_{h\to 0} \frac{1-e^{h}}{h} =....\)

[panb]

A może jednak tak:
\(f'(x)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(x+h)}-e^{-x}\right)}{h}= e^{-x}\Lim_{h\to 0} \frac{e^{-h}-1}{h} =....\\
f'(1)=....\)
albo tak:
\(f'(1)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(1+h)}-e^{-1}\right)}{h}= e^{-1}\Lim_{h\to 0} \frac{e^{-h}-1}{h} =....\)

Puryści oczekiwaliby sprawdzenia czy tak samo jest dla:
\(f'(x)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-(x)}-e^{-(x-h)}\right)}{h}= e^{-x}\Lim_{h\to 0} \frac{1-e^{h}}{h} =....\\
f'(1)=....\)
albo :
\(f'(1)=\Lim _{h\to 0}\frac{\left(e^{-1}-e^{-(1-h)}\right)}{h}= e^{-1}\Lim_{h\to 0} \frac{1-e^{h}}{h} =....\)

PO CO?! Zadanie zrobione!!

[kerajs]

Ponieważ:
- pochodną należy policzyć z definicji
- zmienna x nie może jednocześnie być przyrostem w ilorazie różnicowym
- zmienna x nie może jednocześnie być podstawieniem

[panb]

Ponieważ:

- pochodną należy policzyć z definicji
On liczy z definicji! \(f'(x_0)= \Lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)
- zmienna x nie może jednocześnie być przyrostem w ilorazie różnicowym
j. w.
- zmienna x nie może jednocześnie być podstawieniem
Hę?

Nie komplikuj, bo ktoś niewprawny i niepewny całkiem zwątpi. Nie o to (chyba) chodzi.