Zbieżność szeregu.

[cainvrd]

\(\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-2x)^n}{n!} \)
Czemu ten szereg jest zbieżny? Jakie własności się na to składają?

[panb]

\(\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-2x)^n}{n!} \)
Czemu ten szereg jest zbieżny? Jakie własności się na to składają?

Wynika to np. z kryterium d'Alemberta.
\(\displaystyle \Lim_{n\to \infty } \begin{vmatrix} \frac{ \frac{(-2x)^{n+1}}{(n+1)!} }{ \frac{(-2x)^n}{n!} } \end{vmatrix} = \Lim_{n\to \infty } \begin{vmatrix}\frac{(-2x)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(-2x)^n} \end{vmatrix}=\Lim_{n\to \infty } \frac{2|x|}{n+1}=0<1 \) dla każdego \(x\in\rr\), więc
nasz szereg jest zbieżny dla każdego \(x\in\rr\)

[panb]

Tak poza konkursem
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}=e^{-2x} \]