Dwa zadania z regułą obliczania pochodnych

[Alis9]

Korzystając z reguł obliczania pochodnych, obliczyć pochodną podanej funkcji

a) \(y= \frac{2x}{ \sqrt{1 - x^{2}} } \)
b) \(y= e^{x} \sin x\)

[grdv10]

b) Ze wzoru na pochodną iloczynu\[y'=(e^x)'\sin x+s^x(\sin x)'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x).\]

a) Ze wzoru na pochodną ilorazu\[y'=\frac{(2x)'\sqrt{1-x^2}-2x(\sqrt{1-x^2})'}{1-x^2}=\frac{2\sqrt{1-x^2}-2x\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}.\]Dalej uprość sobie samodzielnie. Pozostało jeszcze policzenie pochodnej funkcji złożonej \(z=\sqrt{1-x^2}.\) Wstawiamy \(u=1-x^2\) i mamy \(\dfrac{du}{dx}=-2x\). Dalej, \(z=\sqrt{u}\) i \(\dfrac{dz}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\) Zatem z reguły łańcucha\[z'(x)=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-2x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}.\]

[eresh]

Korzystając z reguł obliczania pochodnych, obliczyć pochodną podanej funkcji

a) \(y= \frac{2x}{ \sqrt{1 - x^{2}} } \)

\(
y'=\frac{2\sqrt{1-x^2}-2x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{(\sqrt{1-x^2})^2}\\
y'=\frac{2\sqrt{1-x^2}+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{(\sqrt{1-x^2})^2}\\

y'=\frac{2(1-x^2)+2x^2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\
y'=\frac{2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}
\)