Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

[damian28102000]

Cześć! Mam problem z wyznaczeniem granicy funkcji (bez wykorzystania reguły de l'hospitala):
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)\)
Problem jest taki, że nie wiem co kompletnie co zrobić, nie widzę żadnego dostępnego schematu działania.

[eresh]

Cześć! Mam problem z wyznaczeniem granicy funkcji (bez wykorzystania reguły de l'hospitala):
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)\)
Problem jest taki, że nie wiem co kompletnie co zrobić, nie widzę żadnego dostępnego schematu działania.

\(\Lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}(\frac{\ln (1+x)}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1})=1\cdot 1=1\)

[kerajs]

Potrzebne są granice specjalne:
\(\Lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x} =1\)
\(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)
Stąd
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)=...= \frac{1}{\ln 10} \)

[kerajs]

Zobacz tu:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=76&t=90940.htm

[damian28102000]

Zobacz tu:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=76&t=90940.htm

Dziwne, że Doktor nie zamieściła nam tego w takiej jej "ściągawce". Dziękuję!

[kerajs]

Zawsze lepiej mieć jakiegoś asa w rękawie na krnąbrnych lub przemądrzałych studentów.

Dlaczego nieDoktor?

[damian28102000]

Zawsze lepiej mieć jakiegoś asa w rękawie na krnąbrnych lub przemądrzałych studentów.

Dlaczego nieDoktor?

Edit: Przepraszam pomyłka, dwa razy zdanie pisałem i coś zostało. Nie ma pierwszego pytania. (chociaż mogło to bardzo źle "zabrzmieć")

1. Nie rozumiem pytania, no, chyba że to pytanie retoryczne.
2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?

[kerajs]

1. Nie rozumiem pytania, no, chyba że to pytanie retoryczne.

Nie, nie było to pytanie retoryczne. Zaintrygowało mnie określenie ''nieDoktor'', ale nie ma tematu, skoro to pomyłka.

2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?

Tak.

[eresh]

2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)

[damian28102000]

2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)

Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...

[eresh]

2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)

Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...

a czy \(\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}\)?
(podzieliłam licznik i mianownik przez \(x\))

[damian28102000]

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)

Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...

a czy \(\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}\)?
(podzieliłam licznik i mianownik przez \(x\))

<3 Dziękuję <3