Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: damian28102000 »

Cześć! Mam problem z wyznaczeniem granicy funkcji (bez wykorzystania reguły de l'hospitala):
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)\)
Problem jest taki, że nie wiem co kompletnie co zrobić, nie widzę żadnego dostępnego schematu działania.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: eresh »

damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 15:35 Cześć! Mam problem z wyznaczeniem granicy funkcji (bez wykorzystania reguły de l'hospitala):
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)\)
Problem jest taki, że nie wiem co kompletnie co zrobić, nie widzę żadnego dostępnego schematu działania.
\(\Lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}(\frac{\ln (1+x)}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1})=1\cdot 1=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: kerajs »

Potrzebne są granice specjalne:
\(\Lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(1+x\right)}{x} =1\)
\(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)
Stąd
\(\Lim _{x\to 0}\left(\frac{log\left(1+x\right)}{e^x-1}\right)=...= \frac{1}{\ln 10} \)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: kerajs »

Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: damian28102000 »

Dziwne, że Doktor nie zamieściła nam tego w takiej jej "ściągawce". Dziękuję!
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, 16:07 przez damian28102000, łącznie zmieniany 1 raz.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: kerajs »

Zawsze lepiej mieć jakiegoś asa w rękawie na krnąbrnych lub przemądrzałych studentów.

Dlaczego nieDoktor?
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: damian28102000 »

kerajs pisze: 21 mar 2021, 16:02 Zawsze lepiej mieć jakiegoś asa w rękawie na krnąbrnych lub przemądrzałych studentów.

Dlaczego nieDoktor?
Edit: Przepraszam pomyłka, dwa razy zdanie pisałem i coś zostało. Nie ma pierwszego pytania. (chociaż mogło to bardzo źle "zabrzmieć")

1. Nie rozumiem pytania, no, chyba że to pytanie retoryczne.
2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: kerajs »

damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 16:07 1. Nie rozumiem pytania, no, chyba że to pytanie retoryczne.
Nie, nie było to pytanie retoryczne. Zaintrygowało mnie określenie ''nieDoktor'', ale nie ma tematu, skoro to pomyłka.
damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 16:07 2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?
Tak.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: eresh »

damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 16:07 2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?
\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: damian28102000 »

eresh pisze: 21 mar 2021, 16:47
damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 16:07 2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?
\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)
Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: eresh »

damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 17:08
eresh pisze: 21 mar 2021, 16:47
damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 16:07 2. \(\Lim_{x\to 0}(\frac{x}{e^x-1})=1\) to, to samo, co \(\Lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =1\)?
\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)
Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...
a czy \(\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}\)?
(podzieliłam licznik i mianownik przez \(x\))
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 128
Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
Podziękowania: 144 razy
Płeć:
Kontakt:

Re: Granica funkcji z logarytmem i epsilonem

Post autor: damian28102000 »

eresh pisze: 21 mar 2021, 17:11
damian28102000 pisze: 21 mar 2021, 17:08
eresh pisze: 21 mar 2021, 16:47

\(\Lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\Lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1\)
Najmocniej przepraszam, ale nie rozumiem co się wydarzyło pomiędzy pierwszym równa się. Widzę, że to jakaś błahostka, aż wstyd, ale kompletnie nie widzę tego...
a czy \(\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}\)?
(podzieliłam licznik i mianownik przez \(x\))
<3 Dziękuję <3
ODPOWIEDZ