Uzasadnij że logarytm naturalny

[rav20]

Uzasadnij że \(\ln x\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) .

[Jerry]

Uzasadnij że \(\ln x\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) .

\(\ln x\ \color{red}{?}\ \frac{x}{e} \)
Daj nam szansę pomocy!!!

Pozdrawiam

[Jerry]

Pobawię się, z nudów, fusami

Rozpatrzmy
\(y=f(x)=\ln x-\frac{x}{e}\) określoną w \(D=\rr_+\)
Jako, że jest ciągła i różniczkowalna, to
\(y'=f'(x)={1\over x}-{1\over e}\wedge D'=D\)
WKIE: \(y'=0\iff x=e\)
WDIE: pochodna zmienia w \(x=e\) znak z dodatniego na ujemny, zatem
\( \begin{cases}x=e\\y_{\max}=f(e)=0=M \end{cases} \)
Ostatecznie
\(\forall_{x\in\rr_+}f(x)\le 0\iff\forall_{x\in\rr_+}\ln x\le {x\over e}\) i równość zachodzi dla \(x=e\)

Pozdrawiam
PS. Ale co ma do tego

dla \(x<e\)

[panb]

Uzasadnij że \(\ln x\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) .

Może miało być
Uzasadnij że \(\ln x <\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) ?

[rav20]

Uzasadnij że \(\ln x\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) .

Może miało być
Uzasadnij że \(\ln x <\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) ?

tak dokładnie

[Jerry]

Może miało być
Uzasadnij że \(\ln x <\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) ?

tak dokładnie

No to masz w moim poście nawet więcej...

Pozdrawiam