Granica funkcji

[damian28102000]

Cześć!

\(\Lim _{x\to 0}\frac{\left(\sin4x-\sin5x\right)}{\sin x}\)

Nie mogę chyba napisać, że to \(\Lim _{x\to 0}\frac{\left(\sin4x-\sin5x\right)}{\sin x}=\Lim _{x\to \:0}\frac{\sin4x}{\sin x}-\frac{\sin5x}{\sin x}=4-5=-1\)? (nie biorąc pod uwagę reguły de l'Hospitala)

[eresh]

Cześć!

\(\Lim _{x\to 0}\frac{\left(sin4x-sin5x\right)}{sinx}\)

Nie mogę chyba napisać, że to \(\Lim _{x\to 0}\frac{\left(sin4x-sin5x\right)}{sinx}=\Lim _{x\to \:0}\frac{sin4x}{sinx}-\frac{sin5x}{sinx}=4-5=-1\)? (nie biorąc pod uwagę reguły de l'Hospitala)

\(\Lim_{x\to 0}(\frac{\sin 4x}{\sin x}-\frac{\sin 5x}{\sin x})=\Lim_{x\to 0}(\frac{4x\sin 4x}{4x\sin x}-\frac{5x\sin 5x}{5x\sin x})=\Lim_{x\to 0}(\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{4}{\frac{\sin x}{x}}-\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{5}{\frac{\sin x}{x}})=4-5=-1\)

[Jerry]

Nie mogę chyba napisać, że to \(\Lim _{x\to 0}\frac{\left(sin4x-sin5x\right)}{sinx}=\cdots=4-5=-1\)?

Dlaczego, przecież:
\(\Lim _{x\to \:0}\frac{\sin4x}{\sin x}=\Lim _{x\to \:0}\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}=4\cdot{1\over1}=4\)

Pozdrawiam

[damian28102000]

\(\Lim _{x\to \:0}\frac{\sin4x}{\sin x}=\Lim _{x\to \:0}\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}=4\cdot{1\over1}=4\)

\(\Lim_{x\to 0}(\frac{\sin 4x}{\sin x}-\frac{\sin 5x}{\sin x})=\Lim_{x\to 0}(\frac{4x\sin 4x}{4x\sin x}-\frac{5x\sin 5x}{5x\sin x})=\Lim_{x\to 0}(\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{4}{\frac{\sin x}{x}}-\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{5}{\frac{\sin x}{x}})=4-5=-1\)

Możecie mi wyjaśnić dlaczego mogę po prostu dać np. \(4x\) przed \(sin 4x\)?
Edit: zrozumiałem, jestem dzbanem.
Podziękować <3

[Jerry]

Możecie mi wyjaśnić dlaczego mogę po prostu dać np. \(4x\) przed \(sin 4x\)?

\(\Lim _{x\to \:0}\frac{\sin4x}{\sin x}=\Lim _{x\to \:0}\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}=4\cdot{1\over1}=4\)

Fakty:
-) \(\Lim_{\alpha\to0}{\sin\alpha\over\alpha}=1\) również dla \(\alpha=4x\)
-) \(\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}={\sin4x\over\sin x}\)
-) \({4x\over x}=4\)
Cię nie przekonują?

Pozdrawiam

[edited] nie bądź tak samokrytyczny, nie ma głupich pytań - odpowiedzi mogą być niewyważone..

[damian28102000]

Możecie mi wyjaśnić dlaczego mogę po prostu dać np. \(4x\) przed \(sin 4x\)?

\(\Lim _{x\to \:0}\frac{\sin4x}{\sin x}=\Lim _{x\to \:0}\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}=4\cdot{1\over1}=4\)

Fakty:
-) \(\Lim_{\alpha\to0}{\sin\alpha\over\alpha}=1\) również dla \(\alpha=4x\)
-) \(\frac{4x\cdot{\sin4x\over4x}}{x\cdot{\sin x\over x}}={\sin4x\over\sin x}\)
-) \({4x\over x}=4\)
Cię nie przekonują?

Pozdrawiam

[edited] nie bądź tak samokrytyczny, nie ma głupich pytań - odpowiedzi mogą być niewyważone..

Przekonują, dziękuję.
Miałem problem, dlaczego postanowiliście dodać 4x przed sin, ale mózg pomielił pomielił i stwierdził przecież w mianowniku też "dodaliście" więc wychodzi na to samo a można zastosować ten "trik" z \(\frac{\sin{x}}{x}=1\)