Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:

[m4rc3ll]

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
\(f(x) = xln( \frac{2x}{x-2}) \)

\(f(x) = xe^ \frac{1}{x} \)

Z góry dziękuje

[eresh]

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:


\(f(x) = xe^ \frac{1}{2} \)

Z góry dziękuje

Na pewno tak to wygląda? Przecież to jest funkcja liniowa, asymptot nie posiada

[eresh]

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
\(f(x) = xln( \frac{2x}{x-2}) \)

\(\frac{2x}{x-2}>0\\
D=(-\infty, 0)\cup (2,\infty)\)

\(\Lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\Lim_{x\to \infty}\ln\frac{2x}{x-2}=\ln 2\\
\Lim_{x\to \infty}x\ln\frac{2x}{x-2}-x\ln 2=\Lim_{x\to\infty}\frac{\ln\frac{2x}{x-2}-\ln 2}{\frac{1}{x}}=\Lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x-2}{2x}\cdot\frac{2(x-2)-2x}{(x-2)^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\Lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{2x}\cdot\frac{-2}{(x-2)^2}\cdot (-x^2)=\Lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-2}=1\\
y=x\ln 2+1\mbox{ asymptota ukośna}\)

\(\Lim_{x\to 0^-}\frac{\ln\frac{2x}{x-2}}{\frac{1}{x}}=\Lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{x-2}{2x}\cdot\frac{2(x-2)-2x}{(x-2)^2}}{-\frac{1}{x^2}}=0\\
\Lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\\
x=2\mbox{ asymptota pionowa}\)

[panb]

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
\(f(x) = xln( \frac{2x}{x-2}) \)

Z góry dziękuje

Zawsze zaczyna się od dziedziny:
\( D_f=\{x\in\rr: \frac{2x}{x-2}>0 \}=(-\infty,0) \cup (2,+\infty)\)
Potem granice wynikające z dziedziny:

• \(\Lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty\cdot\ln2=\pm\infty \) ... i nici z asymptoty poziomej
• \( \Lim_{x\to 0^- }f(x)=[0\cdot (-\infty)] =\Lim_{x\to 0^- } \frac{\ln \frac{2x}{x-2} }{ \frac{1}{x} } \stackrel{H}{=} \Lim_{x\to 0^- }\frac{ \frac{-2}{x(x-2)} }{ \frac{-1}{x^2} }=\Lim_{x\to 0^- } \frac{2x}{x-2}=0 \) ... i nici z pionowej
• \(\Lim_{x\to 2^+ } f(x)=2\cdot +\infty=+\infty\) jest asymptota pionowa \(x=2\)

Sprawdzamy istnienie asymptoty ukośnej: \(y=ax+b \)
\(a=\Lim_{x\to \infty } \frac{f(x)}{x}=\ln 2 \\
b=\Lim_{x\to\infty } f(x)-ax=\Lim_{x\to \infty } \left(x\ln \frac{2x}{x-2}-x\ln2 \right) =\Lim_{x\to \infty } x \ln \frac{x}{x-2}=[\infty\cdot0] =\Lim_{x\to \infty } \frac{ \ln \frac{x}{x-2}}{ \frac{1}{x} } \)
\(\Lim_{x\to \infty } \frac{ \ln \frac{x}{x-2}}{ \frac{1}{x} } \stackrel{H}{=}\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{-2}{x(x-2)} }{ \frac{-1}{x^2} }=\Lim_{x\to \infty } \frac{2x}{x-2}=2\)
Jest asymptota ukośna \( y=\ln2 x+2\)

Odpowiedź: Asymptoty: pionowa (prawostronna) \(x=2\) oraz ukośna \(y=x\ln2+2\)

[m4rc3ll]

Tak, oczywiście wkradł się błąd, dziękuje ślicznie za rozwiązanie