Znajdź najmniejsze i największe wartości funkcji:

[m4rc3ll]

\(f(x) = x^{-x}\), dla \(x > 0\)

[panb]

\(f(x) = x^{-x}\), dla \(x > 0\)

\(\displaystyle \left[ \ln(f(x))\right]'= \frac{f'(x)}{f(x)} \So f'(x)=f(x)\cdot \left[ \ln(f(x))\right]'\)

\(\ln f(x)=-x\ln x \So \left[ \ln f(x)\right]'=-\ln x+ \frac{-x}{x}=- \ln x-1\)
Zatem \((x^{-x})'=-x^{-x}(\ln x+1)\)

Myślę, że to była główna trudność, co? Dalej dasz radę, mam nadzieję.

[m4rc3ll]

Mhm, poradziłem sobie \(f_{max} = e^{1/e}\) a \(f_{min}\) nie istnieje? mógłby mi ktoś powiedzieć czy się nie mylę?

[Galen]

Najmniejszej wartości nie ma.
\( \Lim_{x\to \infty}x^{-x}= \Lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^x}=\frac{1}{\infty}=0\)
Pochodna jest ujemna na prawo od \(x_{maks.funkcji}\)