8.Rozwiąż równanie różniczkowe.

[Januszgolenia]

\(xyy^{'}=x^2+y^2\)

[britva]

\(x\,y\,y'=y^{2}+x^{2}\;\rightarrow\;y^{2}=2\,x^{2}\,\left(\ln\left(x\right)+C\right)\)

krok po kroku

[eresh]

\(xyy^{'}=x^2+y^2\)

\(xyy'=x^2+y^2\\
\frac{y}{x}y'=1+(\frac{y}{x})^2\\
y'=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}\\
\frac{y}{x}=t\\
y=xt\\
y'=t+xt'\\
t+xt'=\frac{1+t^2}{t}\\
xt'=\frac{1+t^2-t^2}{t}\\
xt'=\frac{1}{t}\\
x\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}\\
tdt=\frac{dx}{x}\\
\frac{t^2}{2}=\ln|cx|\\
t^2=2\ln|cx|\\
\frac{y^2}{x^2}=2\ln|cx|\\
y^2=2x^2\ln|cx|
\)