Całka

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kusik1232
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 17 sty 2021, 17:41
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Całka

Post autor: kusik1232 »

Mam problem z całką:
\( \int_{}^{} \frac{dx}{(x-1)^3* \sqrt{x^2-2x-1} }
\)

Czy byłby ktoś w stanie mi pomóc?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: eresh »

kusik1232 pisze: 17 sty 2021, 17:46 Mam problem z całką:
\( \int_{}^{} \frac{dx}{(x-1)^3* \sqrt{x^2-2x-1} }
\)

Czy byłby ktoś w stanie mi pomóc?
podstawienie
\(\frac{1}{x-1}=t\\
x=1+\frac{1}{t}\\
dx=-\frac{dt}{t^2}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
kusik1232
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 17 sty 2021, 17:41
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: kusik1232 »

eresh pisze: 17 sty 2021, 18:01
kusik1232 pisze: 17 sty 2021, 17:46 Mam problem z całką:
\( \int_{}^{} \frac{dx}{(x-1)^3* \sqrt{x^2-2x-1} }
\)

Czy byłby ktoś w stanie mi pomóc?
podstawienie
\(\frac{1}{x-1}=t\\
x=1+\frac{1}{t}\\
dx=-\frac{dt}{t^2}\)
W jaki sposób pozbyć się pierwiastka korzystając z tego podstawienia?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: eresh »

kusik1232 pisze: 17 sty 2021, 18:16
eresh pisze: 17 sty 2021, 18:01
kusik1232 pisze: 17 sty 2021, 17:46 Mam problem z całką:
\( \int_{}^{} \frac{dx}{(x-1)^3* \sqrt{x^2-2x-1} }
\)

Czy byłby ktoś w stanie mi pomóc?
podstawienie
\(\frac{1}{x-1}=t\\
x=1+\frac{1}{t}\\
dx=-\frac{dt}{t^2}\)
W jaki sposób pozbyć się pierwiastka korzystając z tego podstawienia?
nie pozbędziesz się pierwiastka - dostaniesz całkę, którą obliczysz korzystając z metody współczynników nieoznaczonych
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
kusik1232
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 17 sty 2021, 17:41
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: kusik1232 »

eresh pisze: 17 sty 2021, 18:18
kusik1232 pisze: 17 sty 2021, 18:16
eresh pisze: 17 sty 2021, 18:01

podstawienie
\(\frac{1}{x-1}=t\\
x=1+\frac{1}{t}\\
dx=-\frac{dt}{t^2}\)
W jaki sposób pozbyć się pierwiastka korzystając z tego podstawienia?
nie pozbędziesz się pierwiastka - dostaniesz całkę, którą obliczysz korzystając z metody współczynników nieoznaczonych
A jak zmienić x na t pod pierwiaskiem?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: eresh »

\(\int\frac{dx}{(x-1)^3\sqrt{x^2-2x-1}}\\
x=1+\frac{1}{t}\\
dx=-\frac{dt}{t^2}\\
-\int\frac{t^3dt}{t^2\sqrt{1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}-2-\frac{2}{t}-1}}=-\int\frac{tdt}{\sqrt{\frac{1}{t^2}-2}}=-\int\frac{tdt}{\sqrt{\frac{1-2t^2}{t^2}}}=-\int\frac{t^2dt}{\sqrt{1-2t^2}}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
britva
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 45
Rejestracja: 03 gru 2020, 23:33
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: britva »

\(\int{\dfrac{1}{\left(x-1\right)^{3}\,\sqrt{x^{2}-2\,x-1}}}{\;\mathrm{d}x}=\dfrac{\sqrt{x^{2}-2\,x-1}}{4\,\left(x-1\right)^{2}}-\dfrac{\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{x-1}\right)}{4\,\sqrt{2}}+C\)

krok po kroku:
https://mathdf.com/int/pl/?expr=1%2F((x ... x-1)&arg=x
lub tak
https://mathdf.com/int/pl/?expr=1%2F((x ... arg=x&et=1
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1419
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Re: Całka

Post autor: janusz55 »

\( \int \frac{dx}{(x-1)^3 \sqrt{x^2 -2x -1}} = \int \frac{dx}{(x-1)^3\sqrt{(x -1)^2 -2}} \)

\( u = (x-1)^2, \ \ du = 2(x-1)dx, \ \ dx = \frac{1}{2(x-1)}du \)

\( = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{u -2}} du =\)

\( v = \sqrt{u-2}, \ \ u = v^2 + 2, \ \ dv = \frac{1}{2\sqrt{u-2}} du, \ \ du = 2\sqrt{u-2}dv = 2\sqrt{v^2 +2 -2} dv= 2v dv. \)

\( = \frac{1}{2}\int \frac{2v}{(v^2 +2)\cdot v }dv = \int \frac{1}{v^2 +2} dv = \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2 +1}dv = \)

\( \frac{u}{\sqrt{2}} = s, \ \ ds = \frac{dv}{\sqrt{2}}, \ \ dv = \sqrt{2}ds \)

\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{s^2 +1} ds = \arctg (s) + C \)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctg\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) + C \)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctg \left(\frac{\sqrt{u-2}}{\sqrt{2}}\right) + C \)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctg \left(\frac{\sqrt{(x-1)^2 -2}}{\sqrt{2}}\right) + C \)
britva
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 45
Rejestracja: 03 gru 2020, 23:33
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: britva »

janusz55,
Tylko jeśli używasz zastępowania
\(u=\left(x-1\right)^2,\;\,\mathrm{d}u=2\left(x-1\right)\mathrm{d}x,\;\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2\left(x-1\right)}\,\mathrm{d}u\)
okaże się tak
\(\displaystyle\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2\sqrt{u-2}}\;\mathrm{d}u\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1419
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Re: Całka

Post autor: janusz55 »

Masz rację. Obliczysz tą całkę? Jeśli nie to pomogę.

Przepraszam za pomyłkę.
britva
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 45
Rejestracja: 03 gru 2020, 23:33
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: britva »

janusz55,
Po prostu szukam metod rozwiązywania całek i testuję je, nic wielkiego

Całka
\(\int{\dfrac{1}{\sqrt{u-2}\,u^{2}}}{\;\mathrm{d}u}=\dfrac{\sqrt{u-2}}{2\,u}+\dfrac{\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{u-2}}{\sqrt{2}}\right)}{2\,\sqrt{2}}+C\)
krok po kroku
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1419
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Re: Całka

Post autor: janusz55 »

Po wykonaniu takich samych podstawień otrzymujemy całkę

\( \int \frac{1}{(v^2 + 2)^2} dv \)

Całkę obliczymy metodą całkowania przez części, całkując funkcję o jeden stopień niższą \( \frac{1}{v^2+2}. \)

\( \int \frac{1}{v^2+2} dv = \int \frac{v'}{{v^2 + 2}}dv = \frac{v}{v^2+2} + \int \frac{v \cdot 2v }{(v^2 +2)^2}dv = \frac{v}{v^2+2} + 2\int \frac{v^2 + 2 - 2}{(v^2+2)^2} dv = \frac{v}{v^2+2} -2\int \frac{1}{v^2+2}dv - 4\int \frac{1}{(v^2+2)^2}dv \ \ (*)\)

Z równania całkowego \( (*) \) obliczamy całkę \( \int \frac{1}{(v^2+2)^2}dv \)

\( 4\int \frac{1}{(v^2+2)^2}dv = \frac{v}{v^2 +2} + \int \frac{1}{v^2+2}dv \ \ |\cdot \frac{1}{4} \)

\( \int\frac{1}{(v^2 +2)^2} dv = \frac{1}{4}\frac{v}{v^2 +2} + \frac{1}{4}\int \frac{1}{v^2+2}dv\)

W celu obliczenia tej całki można było skorzystać ze wzoru iteracyjnego na całkę z różniczki dwumiennej.

Całkę \( \int \frac{1}{v^2+2}dv \) obliczyłem wyżej, jako całkę z arkusa tangensa

\( \int\frac{1}{v^2 +2}dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctg \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) + C \)

Stąd

\( \int\frac{1}{(v^2 +2)^2} dv = \frac{1}{4}\frac{v}{v^2 +2} + \frac{1}{4\sqrt{2}}\arctg \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) + C \)

Wracając do podstawień

\(= \frac{1}{4}\frac{\sqrt{u -2}}{u} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctg \frac{\sqrt{u-2}}{\sqrt{2}} + C =\)

\(= \frac{1}{4}\frac{\sqrt{(x-1)^2 -2}}{(x-1)^2} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctg \frac{\sqrt{(x-1)^2-2}}{\sqrt{2}} + C. \)
ODPOWIEDZ