Całki

[g82kasia]

Potrzebuję pomocy

Obliczyć miarę zbioru A ograniczonego:
1. krzywymi \( y^2 = 4x,\ x + y = 3,\ y = 0\ (y > 0)\);
2. krzywymi \(x + y = 4,\ x + y = 8,\ x − 3y = 0,\ x − 3y = 5\);
3.krzywymi \(xy = 4 \text{ i } |x + y| = 5\);
4.powierzchniami \(x = −1,\ x = 2,\ z = 4 − y^2,\ z = 2 + y^2\);
5.powierzchniami \(z = x^3 + y^3,\ x = 0,\ y = 0,\ z = 0,\ x = 1,\ y = 1\).

[janusz55]

a)
Rys.
Opisujemy zbiór \( A \) jako normalny względem osi \( Oy \) (wtedy mamy do obliczenia jedną całką)

\( A = \{ (x,y) \in \rr^2: \frac{y^2}{4} \leq x \leq 3-y, \ \ 0 \leq y \leq 2 \} \)

\( |A| = \int_{0}^{2} dy \int_{\frac{1}{4} y^2} ^{3 -y} dx = \int_{0}^{2} (3 -y -\frac{1}{4}y^2 )dy = \left[ 3y -\frac{1}{2}y^2 -\frac{1}{12}y^3 \right]_{0}^{2} = 3\cdot 2 - \frac{1}{2}\cdot 4 - \frac{1}{12}\cdot 8 = 3\frac{1}{3}.\)

[janusz55]

5.
Zbiór \( A \) jest obszarem ograniczony powierzchniami \( z = x^3 +y^3, x= 0 , \ \ y=0, \ \ x =1, \ \ y =1 \)

\( A = \{ (x,y,z)\in \rr^3: 0 \leq x \leq 1 , \ \ 0 \leq y \leq 1, \ \ 0 \leq z \leq x^3 +y^3 \}\)

Z definicji całki potrójnej w układzie prostokątnym \( Oxyz \)

\( |A| = \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{x^3 +y^3} dz \)

\( I_{1} = \int_{0}^{x^3 +y^3} dz = \left[ z \right]_{0}^{x^3 +y^3} = x^3 + y^3, \)

\( I_{2} = \int_{0}^{1} (x^3 +y^3) dy = \left[ x^3y + \frac{1}{4}y^4 \right]_{0}^{1} = x^3 + \frac{1}{4} ,\)

\( |A| = \int_{0}^{1} \left(x^3 + \frac{1}{4} \right ) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\)

[g82kasia]

Bardzo dziękuję