Wyznacz ekstrema i monotoniczność funkcji

[m4rc3ll]

Zbadaj istnienie ekstremów lokalnych oraz podaj przedziały monotoniczności dla funkcji określonych wzorami:
\(y=3\cos2x+\cos^2x +4x\)

[eresh]

Zbadaj istnienie ekstremów lokalnych oraz podaj przedziały monotoniczności dla funkcji
określonych wzorami: \(3cos(2x)+cos^2(x) +4x\)

najpierw wyznacz pochodną i znajdź jej miejsca zerowe

[m4rc3ll]

Wszystko to zrobiłem pochodna to \(f'(x) = -7sin(2x) + 4 \) a miejsca zerowe to jakiś kosmos, zapisane za pomosą arcsin oraz kpi. Nie wiem jak wyznaczyć to w tym przypadku

[Jerry]

Pochodna - dobra, sprawdziłem, trzeba męczyć z

... \( \arcsin\) oraz \(k\pi\)

Pozdrawiam

[m4rc3ll]

Znaczy miejsca zerowe to \(\begin{cases} x = \frac{arcsin(4/7)}{2} + k \pi \\ x = \frac{ \pi }{2} - \frac{arcsin(4/7)}{2} + k \pi \end{cases}\) \(k \in \zz \) i Nie wiem tylko jak zapisac to w przedziale ekstrem

[Jerry]

Naszkicuj wykres
\(y'=f'(x)\),
oznacz
\(x_{1_k}=\frac{\arcsin(4/7)}{2} + k \pi , x_{2_k}=\frac{ \pi }{2} - \frac{\arcsin(4/7)}{2} + k \pi \) dla \(k\in\zz\)
i zauważ, wykorzystując okresowość, że
\(y'<0\iff x\in(x_{1_k};\ x_{2_k})\wedge y'>0\iff x\in(x_{2_k};\ x_{1_{k+1}})\)
skąd przedziały monotoniczności i warunek dostateczny istnienia ekstremów...

Pozdrawiam

[m4rc3ll]

Tylko wolfram pokazuje, że ekstrema nie istnieją

[Jerry]

Tylko wolfram pokazuje, że ekstrema nie istnieją

z https://obliczone.pl/start/rysowanie-wykresow-funkcji :

Pozdrawiam

[eresh]

Tylko wolfram pokazuje, że ekstrema nie istnieją

Mi pokazuje, że istnieją

[m4rc3ll]

Czyli narysować wykres pochodnej i pokazać, że w miejscach zerowych funkcja zmienia znak i tam gdzie z minusa na plus to min a z plus na min to max tak?

[Jerry]

Tak!

Pozdrawiam

[edited] w miejscach zerowych funkcja pochodnej...

[janusz55]

\( f(x) = 3\cos(2x) +\cos^2(x) + 4x, \ \ x\in \rr. \)

Upraszczamy wzór funkcji, korzystając z tożsamości trygonometrycznych - kosinusa podwojonego argumentu oraz jedynki trygonometrycznej

\( f(x) = 3\cos^2 (x) - 3\sin^2(x) +\cos^2(x) + 4x \)

\( f(x) = 4\cos^2- 3(1 -\cos^2 (x)) + 4x \)

\( f(x) = 7\cos^2(x) + 4x -3 \)

\( f'(x) = 14\cos(x)(-\sin(x) + 4 \)

\( f'(x) = -7\sin(2x) + 4 \)

\(f'(x)=0 \iff \sin(2x) = \frac{4}{7} \)

\( 2x = \arcsin\left( \frac{4}{7}\right) + 2 \pi \cdot n, \ \ n\in \zz \)

lub

\( 2x = \pi - \arcsin \left( \frac{4}{7} \right) + 2\pi \cdot n, \ \ n\in \zz \)

Stąd

\( x_{1n} = \frac{1}{2}\arcsin\left( \frac{4}{7}\right) + \pi \cdot n, \ \ n\in \zz \)

lub

\( x_{2n} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left( \frac{4}{7} \right) + \pi \cdot n, \ \ n\in \zz.\)

Badamy rodzaj ekstremum lokalnych funkcji w punktach krytycznych ( o ile takie istnieją) w oparciu o kryterium znaku drugiej pochodnej

\( f^{"} (x) = -14\sin(2x)\cos(2x) = -7\sin(4x) \)

\( f^{"}(x_{1n})= -7\sin[ 2\arcsin\left( \frac{4}{7}\right) + n\cdot 4\pi ] \approx - 6,56< 0, \ \ n\in \zz, \)

\( f^{"}(x_{2n}) = -7\sin[ 2\pi - 2\arcsin\left(\frac{4}{7}\right) + n\cdot 4\pi ] \approx 6,56 > 0, \ \ n\in \zz. \)

W punktach \( (x_{1n}, \ \ n\in \zz) \) wykres funkcji posiada maksima lokalne (właściwe),

zaś w punktach \( (x_{2n}, \ \ n\in\zz) \) minima lokalne (właściwe).

[m4rc3ll]

Dlaczego do badania ekstremum policzyłeś drugą pochodną? Mnie uczyli, 1 pochodną a 2 służy do wyznaczania wklęsłości oraz wypukłości i punktu przegięcia.

[Jerry]

... a 2 służy do wyznaczania wklęsłości oraz wypukłości i punktu przegięcia.

Ale, jak widać w poście janusz55, może służyć go określenia ekstremum, np.:
Jeśli pierwsza pochodna się zeruje a druga jest dodatnia, to znaczy, że pierwsza pochodna była rosnąca i zmieniała znak z \(-\) na \(+\), zatem...

Pozdrawiam