asymptoty

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kate84
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 738
Rejestracja: 26 wrz 2015, 23:38
Podziękowania: 258 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

asymptoty

Post autor: kate84 »

Wyznacz asymptoty:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2} \)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: asymptoty

Post autor: eresh »

kate84 pisze: 15 sty 2021, 11:36 Wyznacz asymptoty:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2} \)
\(\Lim_{x\to -2^+}f(x)=[\frac{-3}{0^+}]=-\infty\\
\Lim_{x\to -2^-}f(x)=[\frac{-3}{0^-}]=+\infty\\
x=-2\mbox{ asymptota pionowa}
\)

\(\Lim_{x\to \infty}\frac{1-x^2}{x(x+2)}=-1\\
\Lim_{x\to\infty}(\frac{1-x^2}{x+2}+x)=\Lim_{x\to\infty}\frac{1-x^2+x^2+2x}{x+2}=2\\
y=-x+2\mbox{ asymptota ukosna}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: asymptoty

Post autor: Jerry »

Albo:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2}=\frac{-x^2-2x+2x+4-3}{x+2}=\color{blue}{-x+2}-{3\over \color{green}{x+2}} \)
skąd asymptota ukośna \(y=-x+2\) i pionowa \(x+2=0\)

Pozdrawiam
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1428
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: asymptoty

Post autor: janusz55 »

Gdy badana funkcja jest wymierna i stopień jej wielomianu licznika jest o jeden większy od stopnia wielomianu mianownika wtedy istnienie asymptoty ukośnej (pochyłej) przedstawiamy w ten sposób:

\(|f(x) -( -x +2)|= \left| \frac{1 -x^2}{x+2} - (-x + 2) \right |= \left|-\frac{3}{x+2} \right | \rightarrow 0 \), gdy \( x \ \ \rightarrow \mp \infty. \)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1428
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: asymptoty

Post autor: janusz55 »

Metodę tą stosował przy badaniu funkcji wymiernych Śp. Prof. Roman Leitner. Miałem przyjemność uczestniczyć w jego wykładach.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2021, 22:46 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, nie zmieniaj nazwisk szanowanych ludzi!
ODPOWIEDZ