całka przez części

[agata0987]

Mam w zeszycie obliczoną taką całkę:

\(\int_{}^{} sin^5xcosxdx=\left[\begin{array}{cc}
f(x)=sin^5x, & f'(x)=5sin^4xcosx\\
g'(x)=cosx, & g(x)=sinx\end{array}\right]\)

dlaczego w f'(x) jest i sinus i cosinus? nie wystarczy sam sinus?

[Kasienka]

bo jeżeli liczysz pochodną złożoną to liczysz pochodną zewnętrzną razy pochodną wewnętrzną, konkretnie w Twoim przypadku sinx jest funkcją wewnętrzną, a sin^5x zewnętrzną

zrozumiale to wyjaśniłam?:)

[greg]

Funkca f jest złożeniem funkcji \(F(x)=x^5\) i funkcji \(G(x)=\sin x\) tzn. \(f(x)=F(G(x))\).
Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej złożenia mamy
\(f'(x)=(F(G(x))'=F'(G(x))\cdot G'(x)\)
Teraz
\(F'(x)=5x^4
G'(x)=\cos x\)
Zatem
\(f'(x)=F'(\sin x)\cdot\cos x=5\sin^4x\cos x\)