Zagadnienie początkowe Cauchy'ego

[2001]

a) Rozwiązać równanie różniczkowe \(xy'+y = 9x^2\)
b) Korzystając z punktu a) rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego
\(xy''+y'=9x^2\)
\(y(1)=2\)
\(y'(1)=2\)

Rozwiązanie podpunktu a) wychodzi
\(y_0= \frac{C}{x} \)
\(y_s=3x^2\)
więc \(y= \frac{C}{x} +3x^2\)

Proszę o pomoc z podpunktem b

[kerajs]

Rozwiązanie podpunktu a) wychodzi
\(y_0= \frac{C}{x} \)

Moim zdaniem to rozwiązanie nie dotyczy żadnego z powyższych równań. Pewnie coś (lub kilka cosiów) źle przepisałeś.

[2001]

Rozwiązanie podpunktu a) wychodzi
\(y_0= \frac{C}{x} \)

Moim zdaniem to rozwiązanie nie dotyczy żadnego z powyższych równań. Pewnie coś (lub kilka cosiów) źle przepisałeś.

Poprawione. Chodziło o literówkę z primami tak? Proszę o pomoc, teraz powinno być ok

[panb]

b) Korzystając z punktu a) rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego
\(xy''+y'=9x^2\)
\(y(1)=2\)
\(y'(1)=2\)
Proszę o pomoc z podpunktem b

Zauważmy, że \(xy''+y'=(xy')'\). Zatem \([xy']'=9x^2 \So xy'=\int 9x^2 {dx} \So xy'=3x^3+c_1\\
xy'=3x^3+c_1 \So y'=3x^2+ \frac{c_1}{x} \So y=x^3+c_1\ln x +c_2 \\
y(1)=2 \iff 2=1^3+c_1\ln1+c_2 \So c_2=1\\
y'(1)=2 \iff 2=3\cdot1^2+ \frac{c_1}{1} \So c_1=-1 \)

Odpowiedź: \(y=x^3-\ln x+1\)

[2001]

b) Korzystając z punktu a) rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego
\(xy''+y'=9x^2\)
\(y(1)=2\)
\(y'(1)=2\)
Proszę o pomoc z podpunktem b

Zauważmy, że \(xy''+y'=(xy')'\). Zatem \([xy']'=9x^2 \So xy'=\int 9x^2 {dx} \So xy'=3x^3+c_1\\
xy'=3x^3+c_1 \So y'=3x^2+ \frac{c_1}{x} \So y=x^3+c_1\ln x +c_2 \\
y(1)=2 \iff 2=1^3+c_1\ln1+c_2 \So c_2=1\\
y'(1)=2 \iff 2=3\cdot1^2+ \frac{c_1}{1} \So c_1=-1 \)

Odpowiedź: \(y=x^3-\ln x+1\)

A gdy mam \(xy’-3y=2x^5\)
\(xy’’-3y’=2x^5\)
y(2)=16 i y’(2)=40 ? Wtedy (xy’)’nie wychodzi xy’’-3y wiec co wtedy??

[panb]

A gdy mam \(xy’-3y=2x^5\)
\(xy’’-3y’=2x^5\)
y(2)=16 i y’(2)=40 ? Wtedy (xy’)’nie wychodzi xy’’-3y wiec co wtedy??

Nie wiem jak skorzystać z tego pierwszego przy liczeniu tego drugiego, ale robię to tak:
\(xy''-3y'=(xy'-4y)'\), Zatem mamy \((xy'-4y)'=2x^5\) (czy w tym pierwszym nie było czasem \(xy'-4y=2x^5\)?) Rozwiązaniem równania \(xy'-4y=0\) jest \(y=Cx^4\)

\((xy'-4y)'=2x^5 \So xy'-4y= \frac{1}{3}x^6 +c \So C'x^5= \frac{1}{3}x^6 +c \So C'= \frac{1}{3}x +cx^{-5} \So C= \frac{1}{6}x^2- \frac{1}{4}cx^{-4} +c_1 \)
Wstawiamy to do rozwiązania równania jednorodnego i otrzymujemy
\[y=Cx^4= \left( \frac{1}{6}x^2- \frac{1}{4}cx^{-4} +c_1\right)x^4= \frac{1}{6}x^6+c_1x^4+c \]

Skorzystać z warunków początkowych już pewnie potrafisz, więc to by było na tyle.