Monotoniczność, ograniczoność, zbieżność ciągu + pochodna

[Vacosq]

Bardzo bym prosił o pomoc w tych 3 zadaniach i z góry dziękuję

1) Zbadaj monotoniczność, ograniczoność oraz zbieżność ciągu o wyrazie ogólnym:
αₙ = \(\frac{2n-1}{n+1}\) n ∈ Ν

2)Wyznacz pochodne funkcji:
a) f(x) = (x² + 2x + 2)*sin(x)

b) g(x) = \(\frac{(x^{2}+x+1)*cos(x)}{2-x}\)

c) h(x) = ((2x - x)² + 2)⁸

3) Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) = \(\frac{x^{2}+1}{x}\)

Wyznacz równania asymptot oraz narysuj wykres funkcji f.

[eresh]

2)Wyznacz pochodne funkcji:
a) f(x) = (x² + 2x + 2)*sin(x)

\(f'(x)=(2x+2)\sin x+(x^2+2x+2)\cos x\)

[eresh]

2)Wyznacz pochodne funkcji:
b) g(x) = \(\frac{(x^{2}+x+1)*cos(x)}{2-x}\)

\(g'(x)=\frac{[(2x+1)\cos x-(x^2+x+1)\sin x)\cdot (2-x)]-(x^2+x+1)\cos x\cdot (-1)}{(2-x)^2}\)

[eresh]

2)Wyznacz pochodne funkcji:
c) h(x) = ((2x - x)² + 2)⁸

\(h(x)=(x^2+2)^8\\
h'(x)=8(x^2+2)^7\cdot (2x)\)

[eresh]

3) Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) = \(\frac{x^{2}+1}{x}\)

Wyznacz równania asymptot oraz narysuj wykres funkcji f.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\\
\Lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2}=1\\
\Lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+1}{x}-x)=\Lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1-x^2}{x}=0\\
y=x\mbox{ - asymptota ukosna}\\
\Lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\
\Lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=\infty\\
x=0\mbox{ - asymptota pionowa}\)

Z którym punktem badania przebiegu zmienności funkcji masz problem?

[eresh]

Bardzo bym prosił o pomoc w tych 3 zadaniach i z góry dziękuję

1) Zbadaj monotoniczność, ograniczoność oraz zbieżność ciągu o wyrazie ogólnym:
αₙ = \(\frac{2n-1}{n+1}\) n ∈ Ν
\

\(a_{n+1}-a_n=\frac{2n+2-1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\\
=\frac{2n^2+2n+n+1-2n^2-4n+n+2}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0\mbox{ dla }n\in\mathbb{N}\)
ciąg jest rosnący
\(a_1=\frac{1}{2}\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=2\\
\frac{1}{2}\leq a_n< 2\)

[panb]

Ograniczoność trzeba (można) stwierdzić przed liczeniem granicy. Nie jest to trudne.
Oczywiste jest, że \(a_n \ge a_1=\frac{1}{2}\), bo ciąg jest rosnący.
Podobnie, \( \frac{2n-1}{n+1}= \frac{2(n+1)-3}{n+1}=2- \frac{3}{n+1}<2 \)

Ciąg jest monotoniczny i ograniczony, więc jest zbieżny.
Granica jest równa 2, tak jak to zostało policzone wyżej.