obliczyć granicę

[enta]

niech \(\Lim_{n\to \infty } x_n=g.\) Obliczyć \( \Lim_{n\to \infty } ( \frac{x_n}{1}+ \frac{x_{n-1}}{2} +...+ \frac{x_1}{2^{n-1}} )\)

[panb]

niech \(\Lim_{n\to \infty } x_n=g.\) Obliczyć \( \Lim_{n\to \infty } ( \frac{x_n}{1}+ \frac{x_{n-1}}{2} +...+ \frac{x_1}{2^{n-1}} )\)

\( \frac{x_n}{1}+ \frac{x_{n-1}}{2} +...+ \frac{x_1}{2^{n-1}}= \frac{2^{n-1}x_n+2^{n-2}x_{n-1}+\ldots +2x_2+x_1}{2^{n-1}} \)

Niech
\(a_n=2^{n-1} ,\quad \Lim_{n\to \infty}a_n=+\infty \\
b_n=x_1+2x_2+2^2x_3+\ldots +2^{n-1}x_n, \quad \Lim_{n\to \infty} b_n=+\infty\\
a_n-a_{n-1}=2^{n-1}-2^{n-2}=2^{n-2}(2-1)=2^{n-2}\\
b_n-b_{n-1}=x_1+\ldots + 2^{n-2}x_{n-1}+2^{n-1}x_n- \left(x_1+\ldots +2^{n-2}x_{n-1}\right) =2^{n-1}x_n\)

Teraz stosujemy twierdzenie Stolza
\( \displaystyle \Lim_{n\to \infty } ( \frac{x_n}{1}+ \frac{x_{n-1}}{2} +...+ \frac{x_1}{2^{n-1}} )=\Lim_{n\to \infty } \frac{b_n}{a_n}=\Lim_{n\to \infty } \frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}= \Lim_{n\to \infty } \frac{2^{n-1}x_n}{2^{n-2}}= \Lim_{n\to \infty }2x_n=2g\)