przedziały wypukłości, wklęsłości

[RazzoR]

Znaleźć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji określonej wzorem

\(f(x) = ln(2x^2+1)\)

[eresh]

Znaleźć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji określonej wzorem

\(f(x) = ln(2x^2+1)\)

\(f'(x)=\frac{4x}{2x^2+1}\\
f''(x)=\frac{4(2x^2+1)-4x\cdot 4x}{(2x^2+1)^2}\\
f''(x)=\frac{-8x^2+4}{(2x^2+1)^2}\\
f''(x)=\frac{-4(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}\\
f''(x)\ge 0\iff x\in [-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]\\
f''(x)\le 0\iff x\in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2},\infty)\)
punkty przegięcia:
\(A(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{2})\\
B(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2})\)
funkcja wypukła w przedziale \([-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]\)
funkcja wklęsła w przedziałach (\(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}]\), \([\frac{\sqrt{2}}{2},\infty)\)