Granica z tangensem

[krzys231]

Hej, czy mógłby ktoś pomóc z takim przykładem, nie wiem jak go zrobić

\(
\Lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{\tg 2x}
\)

[radagast]

Hej, czy mógłby ktoś pomóc z takim przykładem, nie wiem jak go zrobić

\(
\lim_{x \to 0} \frac{tg x}{tg 2x}
\)

\(
\Lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{\tg 2x}= \Lim_{x \to 0} \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}= \Lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} {\frac{\cos 2x}{\sin 2x}}=\Lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{{\sin 2x}} =\Lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{{x}}\frac{ x}{{\sin 2x}}=\\
\qquad\qquad = \frac{1}{2} \Lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{{x}}\frac{2 x}{{\sin 2x}}=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1=\frac{1}{2}
\)
Można też z de l'Hospitala: \(\Lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{\tg 2x}=^H=\Lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\cos^2x} }{\frac{2}{\cos^22x}}=\frac{ \frac{1}{1^2} }{\frac{2}{1^2}}=\frac{1}{2}\)