metoda przewidywań

[asia4321]

Bardzo proszę o pomoc w równaniu różniczkowym metodą przewidywań
y''-4y'+3y=e^(2x)*sinx

[kerajs]

\(r^2-4r+3=0\\
(r-1)(r-3)=0\\
y_0=C_1e^x+C_2e^{3x}\\
y_s=e^{2x}(A\sin x+B\cos x)\)
obliczasz \(y'_s, y''_s\) wstawiasz je do równania i wyliczasz wartości A i B,
Rozwiązanie to:
\(y=y_o+y_s=C_1e^x+C_2e^{3x}+e^{2x}(A\sin x+B\cos x)\) dla wyliczonych A i B

[panb]

1. Rozwiązujemy równanie jednorodne: \(y''-4y'+3y=0 \So r^2-4r+3=0 \iff r=1 \vee r=3\)
Rozwiązanie równania jednorodnego: \(y_0=C_1e^x+C_2e^{3x}\)
Przewidywana postać rozwiązania \(y=y_0+y_s\), gdzie\( y_s=Ae^{2x}\sin x\), przy czym \(y''_s-4y'_s+3y_s\equiv e^{2x}\sin x\)

• \(y_s=Ae^{2x}\sin x\\
  y'_s=Ae^{2x}\cos x+2Ae^{2x}\sin x\\
  y''_s=4Ae^{2x}\cos x+3Ae^{2x}\sin x\)

Teraz \(y''_s-4y'_s+3y_s\equiv e^{2x}\sin x \iff 4ae^{2x}\cos x+3Ae^{2x}\sin x -4(Ae^{2x}\cos x+2Ae^{2x}\sin x)+3(Ae^{2x}\sin x) \equiv e^{2x}\sin x \iff -2Ae^{2x}\sin x\equiv e^{2x}\sin x \So A=- \frac{1}{2} \)

Odpowiedź: \(y=C_1e^x+C_2e^{3x}- \frac{1}{2}e^{2x}\sin x\)

[kerajs]

Przewidywana postać rozwiązania \(y=y_0+y_s\), gdzie\( y_s=Ae^{2x}\sin x\),

Jesteś pewien, że przewidywanie nie musi zawierać także kosinusa?

[panb]

Tak (dałem cosinusa i się wyeliminował )

[kerajs]

To prawidłowość, czy może szczęśliwy przypadek?

Przykład takiego przypadku:
Ułamek \( \frac{16}{64} \) skracam skreślając szóstki i dostaję \( \frac{1}{4}\)