Rozwiązać równanie różniczkowe

[Aguś56]

Rozwiązać równanie różniczkowe \(y'=y(ycos^2x+tgx)\)

[kerajs]

\(y'-(\tg x) y=(\cos^2 x) y^2\)
To jest równanie Bernoulliego.
\( \frac{y'}{y^2}-\tg x \ \frac{1}{y}=\cos^2 x\\
t= \frac{1}{y} \ \ \So \ \ t'= \frac{-1}{y^2}y' \\
-t' -\tg x \ t=\cos^2 x\\
t' +\tg x \ t=-\cos^2 x\)
A to jest równanie liniowe. Potrafisz je rozwiązać?

[Aguś56]

dzięki wiem jak rozwiązać równanie liniowe tylko tutaj nie wiem jak to zrobić żeby rozdzielić tgx*t

[kerajs]

Wpierw równanie jednorodne:
\(t'+t \ tg x=0\\
\frac{t'}{t}=-\tg x\\
\frac{dt}{t}= - \tg x dx\\
....\\
....\)

[Aguś56]

jednak nie radzę sobie z wyliczeniem tego

[kerajs]

\(\ln t=\ln \cos x +C\\
t= C\cos x \\
t'=C'\cos x+C (-\sin x)\)
wstawiasz to do równania niejednorodnego:
\(C'\cos x+C (-\sin x)+\tg x \cdot C\cos x =\cos^2x\\
C'\cos x =\cos^2x\\
C' =\cos x\\
C=\sin x+K\\
t=(\sin x+K)\cos x\\
\frac{1}{y}=(\sin x+K)\cos x\\
y= \frac{1}{K\cos x+\sin x \cos x}
\)