Pole płatu-analiza wektorowa.

[Veronika_Wol]

Witam, otrzymałam kilka przykładów do rozwiązania jednak przy pierwszym przykładzie nie wiem co dalej, a bardzo mi zależy aby to zrozumieć i jakoś przebrnąć przez następne przykłady dlatego serdecznie proszę o pomoc, z góry dziękuję za odpowiedź i przeznaczony czas.
Treść przykładu:
\(\sum_{}^{} \) - część paraboloidy \(z=x^2+y^2\) odcięta przez płaszczyznę \(z=h\) (h>0)
Do tego doszłam sama:
\(z=z(x,y)=x^2+y^2\)
\(( \frac{ \partial z}{ \partial x})^2=4x^2 \)
\(( \frac{ \partial z}{ \partial y})^2=4y^2 \)

\( S= \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy = \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+4(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2 \pi } \int_{?}^{?} \sqrt{1+4r^2}rdr=...\)

Nie jestem pewna tej całki czy za \(x^2+y^2\) podstawić \(r^2\), \(z\), a może \(h\) i co dalej...

[kerajs]

\( S= \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy = \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+4(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2 \pi } \int_{?}^{?} \sqrt{1+4r^2}rdr=...\)

\(=\int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \sqrt{h} } \sqrt{1+4r^2}rdr d \alpha =...\)

Nie jestem pewna tej całki czy za \(x^2+y^2\) podstawić \(r^2\), \(z\), a może \(h\)

\(x^2+y^2=r^2\)

i co dalej...

\(=\int_{0}^{2 \pi } \int_{0}^{ \sqrt{h} } \sqrt{1+4r^2}r dr d \alpha =\int_{0}^{2 \pi } ( \frac{1}{12} \sqrt{(1+4r^2)^3} \bigg|_{0}^{ \sqrt{h} } ) d \alpha = \frac{1}{12}( \sqrt{(1+4h)^3}-1)\int_{0}^{2 \pi }d \alpha =\frac{ \pi }{6}( \sqrt{(1+4h)^3}-1)\)