Równania różniczkowe

[dyziog00]

Dzień dobry,
Trwa nauka zdalna i równania różniczkowe po wysłanych notatkach wykładowcy to prawdziwa czarna magia. Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego pierwszego równania:

\((1 + x)y + (1 + y)xy′ = 0\)

Z góry dziękuję za pomoc!

[kerajs]

to równanie typu zmienne rozdzielone:
\( \frac{1+y}{y } dy= \frac{-(1+x)}{x} dx \\
\int (1+ \frac{1}{y} ) dy=- \int (1+ \frac{1}{x} ) dx \\
...\\
... \)

[dyziog00]

Czy dalej jedno i drugie całkujemy normalnie?

[kerajs]

Tak, i wynik tego całkowania jest szukanym rozwiązaniem. Czasem można je uprościć, a czasem (i na oko tak będzie tutaj) nie i wtedy pozostawia się rozwiązanie w postaci uwikłanej.

[dyziog00]

Tak, i wynik tego całkowania jest szukanym rozwiązaniem. Czasem można je uprościć, a czasem (i na oko tak będzie tutaj) nie i wtedy pozostawia się rozwiązanie w postaci uwikłanej.

Otrzymałem coś takiego:
\(y+ln|y|=-x-ln|x| + c\)

Czy jest to poprawne? I jak tu wynik wydobyć?

[panb]

Tak, i wynik tego całkowania jest szukanym rozwiązaniem. Czasem można je uprościć, a czasem (i na oko tak będzie tutaj) nie i wtedy pozostawia się rozwiązanie w postaci uwikłanej.

Otrzymałem coś takiego:
\(y+ln|y|=-x-ln|x| + c\)

Czy jest to poprawne? I jak tu wynik wydobyć?

\(y+\ln|y|=-x-\ln|x| + c \So \ln e^y+\ln y=\ln C-\ln e^x-\ln x \So ye^y= \frac{C}{xe^x} \) albo
\[xye^{x+y}-C=0\]

Nie wiem, czy wiesz jak się liczy pochodną funkcji uwikłanej.
\(y'=- \frac{ \frac{\partial F}{\partial x} }{ \frac{\partial F}{\partial y} } = \frac{y(x+1)e^{x+y}}{x(y+1)e^{x+y}} \So y(x+1)+(y+1)xy' =0\), a to jest dokładnie to co było w równaniu. Tak więc, nie znając jawnej postaci funkcji f dało się sprawdzić, że spełnia ona równanie różniczkowe. Czyż matematyka nie jest ... piękna?