obliczyć całki

[TomaszSy]

obliczyć całki w obszarze normalnym \(\int_{}^{} \int_{D}^{} \frac{siny}{y} dxdy\), D jest trójkątem o wierzchołkach \(A(0,0) B( \pi ,0) C(0, \pi )\)
policzyłem granice całkowania \(0 \le x \le \pi , 0 \le x \le -x+ \pi\) , ale nie mogę poradzić sobie z policzeniem tej całki, proszę o pomoc.

[korki_fizyka]

https://pl.numberempire.com/definiteint ... =x&a=0&b=1

[kerajs]

Zmienię kolejność całkowania aby całkę nieelementarną mieć na końcu.
\(\int_{0}^{ \pi } (\int_0^{ \pi -y} \frac{\sin y}{y} dx) dy=\int_{0}^{ \pi } (\frac{\sin y}{y} x\bigg|_0^{ \pi -y} ) dy=
\int_{0}^{ \pi } ( \pi \frac{\sin y}{y} - \sin y) dy=-2+ \pi \int_{0}^{ \pi } \frac{\sin y}{y} dy=...\)
stosując sinus całkowy:
\(…=-2+ \pi Si ( \pi )\)
albo rozwinięcie w szereg:
\(...=-2+\pi \int_{0}^{ \pi } (\frac{ \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i+1} \frac{y^{2i-1}}{(2i-1)!} }{y} dy =-2+\pi \int_{0}^{ \pi } \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i+1} \frac{y^{2i-2}}{(2i-1)!} dy=\\=-2+\pi \sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i+1} \frac{y^{2i-1}}{(2i-1)!(2i-1)} \bigg|_{0}^{ \pi }=-2+\sum_{i=1}^{ \infty } (-1)^{i+1} \frac{\pi^{2i}}{(2i-1)!(2i-1)}
\)