Monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji

[agix97]

Cześć, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: zbadaj monotoniczność i ekstrema funkcji: \(y=xe^ \frac{1}{x} \)
Dziedzina funkcji wyszła mi \((-\infty ; 0) \cup (0; \infty )\).
Pochodna: \(y'= e^\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot e^\frac{1}{x} \), z przyrównania pochodnej do 0 wyszło \(x=1\).

Rysując przybliżony wykres \(y'\) zaznaczyłam na osi tylko 1 (wynik równania) i narysowałam wykres idący od prawej strony od góry przecinający oś w tej 1. Niestety odpowiedź wychodzi mi błędna, ponieważ według mojego wykresu funkcja jest rosnąca tylko w przedziale \((1; \infty )\), natomiast według odpowiedzi jest rosnąca też w przedziale od \(( - \infty ; 0)\). Prosiłabym o pomoc i wytłumaczenie, dlaczego rośnie też w tym drugim przedziale, 0 nie należy do dziedziny, nie jest rozwiązaniem równania, więc nie rozumiem, czemu tam coś takiego zachodzi. Dziękuję z góry.

[eresh]

Cześć, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: zbadaj monotoniczność i ekstrema funkcji: \(y=xe^ \frac{1}{x} \)
Dziedzina funkcji wyszła mi \((-\infty ; 0) \cup (0; \infty )\).
Pochodna: \(y'= e^\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot e^\frac{1}{x} \), z przyrównania pochodnej do 0 wyszło \(x=1\).

Rysując przybliżony wykres \(y'\) zaznaczyłam na osi tylko 1 (wynik równania) i narysowałam wykres idący od prawej strony od góry przecinający oś w tej 1. Niestety odpowiedź wychodzi mi błędna, ponieważ według mojego wykresu funkcja jest rosnąca tylko w przedziale \((1; \infty )\), natomiast według odpowiedzi jest rosnąca też w przedziale od \(( - \infty ; 0)\). Prosiłabym o pomoc i wytłumaczenie, dlaczego rośnie też w tym drugim przedziale, 0 nie należy do dziedziny, nie jest rozwiązaniem równania, więc nie rozumiem, czemu tam coś takiego zachodzi. Dziękuję z góry.

źle rozwiązałaś nierówność
\(x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\\
e^{\frac{1}{x}}(1-\frac{1}{x})>0\\
1-\frac{1}{x}>0\\
\frac{x-1}{x}>0\\
x(x-1)>0\\
x\in (-\infty, 0)\cup (1,\infty)\)
czyli funkcja rośnie w przedziałach \((-\infty, 0)\), \((1,\infty)\)

[agix97]

Okej, po prostu uczyłam się chyba trochę innego sposobu. Pochodną przyrównuję do 0 i rozwiązuję takie równanie (nie nierówność), wyznaczam jej miejsca zerowe i zaznaczam je na osi poziomej i rysuję przybliżony wykres. Niestety jak robię równanie to za nic nie chce mi tam wyjść zero. Chyba nie rozumiem tego przejścia:

\(
\frac{x-1}{x}>0\\
x(x-1)>0\\\)

Chyba powinnam to wiedzieć na tym etapie, ale jednak nie rozumiem czemu nagle jest \(x(x-1) \). Mogę prosić o wyjaśnienie? Dziękuję.

[eresh]

Chyba powinnam to wiedzieć na tym etapie, ale jednak nie rozumiem czemu nagle jest \(x(x-1) \). Mogę prosić o wyjaśnienie? Dziękuję.

pomnożyłam obie strony nierówności przez \(x^2\)

[agix97]

Ja mnożyłam przez x, więc tutaj jest błąd, ale niezbyt rozumiem w sumie, czemu przez\(x^2\)?

[eresh]

Bo nie wiesz czy przypadkiem x nie jest ujemny - wtedy musiałabyś zmienić znak nierówności. Mnożąc przez \(x^2\) masz pewność, że mnożysz przez liczbę dodatnią - znak nierówności się nie zmienia

[agix97]

Ok, racja, dziękuję bardzo za pomoc!

[Galen]

Okej, po prostu uczyłam się chyba trochę innego sposobu. Pochodną przyrównuję do 0 i rozwiązuję takie równanie (nie nierówność), wyznaczam jej miejsca zerowe i zaznaczam je na osi poziomej i rysuję przybliżony wykres. Niestety jak robię równanie to za nic nie chce mi tam wyjść zero. Chyba nie rozumiem tego przejścia:

\(
\frac{x-1}{x}>0\\
x(x-1)>0\\\)

Chyba powinnam to wiedzieć na tym etapie, ale jednak nie rozumiem czemu nagle jest \(x(x-1) \). Mogę prosić o wyjaśnienie? Dziękuję.

Iloraz liczb (x-1) i x ma być dodatni,to oznacza,że liczby muszą być tego samego znaku.Dla liczb tego samego znaku iloczyn jest dodatni.
Stąd przejście od \(\frac{x-1}{x}>0\) do \((x-1)x>0\) jest poprawne,ale trzeba dołożyć,że mianownik jest różny od zera.