wyznaczyć całkę szczególna

[lolipop692]

wyznaczyć całkę szczególna następujących równań różniczkowych:
\((xy'-y)arctg( \frac{y}{x} )=x\), y(1)=0

[kerajs]

\((y'- \frac{y}{x} ) \arctg ( \frac{y}{x} )=1\\
y=xt \So y'=t'x+t\\
(t'x+t-t ) \arctg t=1\\\
\arctg t dt= \frac{1}{x}dx\\
....\\
…..
\)

[lolipop692]

I teraz policzyć całki z obu stron? A co z tym warunkiem?

[kerajs]

Warunek ( a ściślej to punkt (1,0)) wstawiasz do wyniku i wyliczasz stałą. Wynikiem będzie tylko jedna (a nie cała rodzina) funkcja (tu akurat uwikłana).

[lolipop692]

ok policzyłam całki wyszło mi
\(t*arctg(t)- \frac{1}{2}ln|t^2+1|=ln|x|\)
i nie wiem jak dalej robić, pomożesz?

[kerajs]

ok policzyłam całki wyszło mi
\(t*arctg(t)- \frac{1}{2}ln|t^2+1|=ln|x|\)

Raczej
\(t \arctg t- \frac{1}{2}ln|t^2+1|=ln|x|+C\)
\( \frac{y}{x} \arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2}ln|(\frac{y}{x} )^2+1|=ln|x|+C\)
Wstawienie warunku początkowego da \(C=0\) więc wynikiem jest:
\( \frac{y}{x} \arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2}ln|(\frac{y}{x} )^2+1|=ln|x|\)
The end.

[lolipop692]

bardzo dziękuję