Wykazać że sześcian ma najmniejsze pole powierzchni

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
vividly
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 05 maja 2020, 12:55
Podziękowania: 8 razy
Płeć:

Wykazać że sześcian ma najmniejsze pole powierzchni

Post autor: vividly »

Wykazać, że spośród prostopadłościanów o danej objętości najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma sześcian.
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6261
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1523 razy
Płeć:

Re: Wykazać że sześcian ma najmniejsze pole powierzchni

Post autor: korki_fizyka »

Wzór na objętość => pochodna >miejsca zerowe >szukanie ekstremum.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Wykazać że sześcian ma najmniejsze pole powierzchni

Post autor: Jerry »

Dla \(a,b,c\in\rr_+\) mamy \(\frac{ab+bc+ca}{3}\ge\sqrt[3]{ab\cdot bc\cdot ca}\) i równość zachodzi dla \(ab=bc=ca\)
Zatem
\(P_F=2ab+2bc+2ca\ge6\sqrt[3]{V_F^2}\) i równość zachodzi dla \(a=b=c\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ