Wykazać że funkcja uwikłana spełnia równanie

[vividly]

Wykazać, że funkcja uwikłana określona równaniem \((x^2 + y^2)^3 – 3(x^2 + y^2) +1 =0\) spełnia równanie \(y^3y’’+ y^2 + x^2 =0\).

[panb]

Wykazać, że funkcja uwikłana określona równaniem \((x^2 + y^2)^3 – 3(x^2 + y^2) +1 =0\) spełnia równanie \(y^3y’’+ y^2 + x^2 =0\).

1. wyznaczyć y'' z równania,
2. obliczyć y'' z funkcji uwikłanej

Powinno wyjść to samo i to zakończy dowód.

ad 1. \(y''=- \frac{x^2+y^2}{y^3} \)
ad 2. Jest wzór na y"

• Jeśli \(f(x,y)\) jest daną funkcją uwikłaną, to:
  \[y"=- \frac{\frac{ \partial ^2 f}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2f }{\partial x\partial y}y' + \frac{\partial ^2f}{\partial y^2} (y')^2 }{ \frac{ \partial f}{ \partial y} } \]
• przypomnę, że \(\displaystyle y'=- \frac{ \frac{ \partial f}{ \partial x} }{ \frac{ \partial f}{ \partial y } } \)

[panb]

Wygląda to strasznie, przyznaję, ale okazuje się, że \(y'= -\frac{x}{y} \)
Nie trzeba korzystać z tego skomplikowanego wzoru, bo przecież \(y''=(y')'\). Wobec tego
\(y''= \left( -\frac{x}{y} \right)' =\frac{-y+y'x}{y^2}= \frac{-y-x\frac{x}{y} }{y^2}= - \frac{y^2+x^2}{y^3}\) .

I po sprawie!!