Równanie stycznej w punkcie do wykresu funkcji uwikłanej

[vividly]

Napisać równanie stycznej w punkcie \(P_0=(1,1)\) do wykresu funkcji uwikłanej \(x^y – y^2\cdot x^y= 0\).

[radagast]

\(x^y – y^2\cdot x^y= 0 \iff x^y(1-y^2)=0 \iff x=0 \vee y=1 \vee y=-1\) (wykresem funkcji są trzy proste. Jedna z nich przechodzi przez punkt (1,1) )
odp: szukana styczna to \(y=1\) (podejrzewam, ze coś źle przepisałeś)

[panb]

Napisać równanie stycznej w punkcie P0=(1,1) do wykresu funkcji uwikłanej \(x^y – y^2*x^y= 0\).

Wzór jest taki jak zawsze: \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0), \,\,\, x_0=y_0=1\)
Jedyny "problem" to \(y'(x_0)\), ale na to jest wzór.
Jeśli F(x,y)=0 jest funkcją uwikłaną zmiennych x i y, to \(y'(x_0)= \frac{ \frac{ \partial F}{ \partial x}(x_0,y_0) }{\frac{ \partial F}{ \partial y}(x_0,y_0)}\), pod warunkiem niezerowego mianownika, rzecz jasna.
\(\frac{\partial F}{ \partial x}=x^{y-1}(y-y^3) \So \frac{\partial F}{ \partial x}(1,1)=0\\
\frac{\partial F}{ \partial y}=-2 y x^y + x^y \ln x - x^y y^2 \ln x \So \frac{\partial F}{ \partial y}(1,1)=-2\neq0\)
Czyli

Odpowiedź: \(y'(1,1)=0\), a szukana styczna ma równanie \(y=1\)