Wybierając odpowiednie kryterium, zbadać zbieżność podanego szeregu. Niestety nie mam pomysłu na ten przykład.
\(\sum _{n=1}^{\infty }\:sin\left(\frac{\pi }{3^n}\right)\)
Zbieżność szeregu z sinusem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Zbieżność szeregu z sinusem
Zbieżny (z d'Alemberta):
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{\sin\left(\frac{\pi }{3^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi }{3^n}\right)} =\Lim_{n\to \infty } \frac{\frac{\pi }{3^{n+1}}}{\frac{\pi }{3^n}} =\Lim_{n\to \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}<1 \)
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{\sin\left(\frac{\pi }{3^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi }{3^n}\right)} =\Lim_{n\to \infty } \frac{\frac{\pi }{3^{n+1}}}{\frac{\pi }{3^n}} =\Lim_{n\to \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}<1 \)
Re: Zbieżność szeregu z sinusem
dzięki bardzo! zrobiłem trochę dookoła, udowodniłem sinx<=x i wtedy z kryterium porównawczego, ale dziękuję za pomoc!radagast pisze: ↑13 maja 2020, 17:30 Zbieżny (z d'Alemberta):
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{\sin\left(\frac{\pi }{3^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi }{3^n}\right)} =\Lim_{n\to \infty } \frac{\frac{\pi }{3^{n+1}}}{\frac{\pi }{3^n}} =\Lim_{n\to \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}<1 \)
