Znaleźć najmniejszą i największa wartość funkcji w podanym obszarze D:

[alanowakk]

Znaleźć najmniejszą i największa wartość funkcji w podanym obszarze \(D: f(x,y)=xy-y+x ~~ ,D-\) obszar ograniczony prostymi \(y=0, x=1\), i parabolą \(y=x^2 \)

[panb]

Najpierw szukamy ekstremów jak zawsze:
\( \begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x}=y+1 \\ \frac{ \partial f}{ \partial y}=x-1\end{cases} \)
Punkt krytyczny \((1,-1)\ \notin D \) - nie zawracamy sobie tym głowy.
Teraz szukamy ekstremów na brzegu:
\(y=0: f(x,0)=x\). Ponieważ obszar D obejmuje \(x\in [0,1]\), więc \(f(x,0)_{min}=0, \,\,\, f(x,0)_{max}=1\)
\(x=1: f(1,y)=y-y+1=1\), więc \(f(1,y)_{min}=f(1,y)_{max}=1\)
\(y=x^2: f(x,x^2)=x^3-x^2+x, \,\,\, x\in [0,1]\), więc (licząc pochodną) mamy \(f(x,x^2)_{min}=0, \,\,\, f(x,x^2)_{max}=1\)

Wobec tego mamy następujący zbiór wartości ekstremalnych: \(\{ 1, 0\}\).

Odpowiedź: W obszarze D funkcja \(f(x,y)=xy-y+x\) przyjmuje wartość najmniejszą \(f_{min}=0\) i wartość największą \(f_{max}=1\)

[alanowakk]

bardzo dziękuję ale chyba pochodna po x będzie inna y+1, wtedy zmieni się punkt krytyczny czy będzie to miało znaczenie w dalszej części?

[panb]

Tak. Punkt (1,-1) nie leży w obszarze D, więc można go olać.
Już poprawiłem.

[alanowakk]

super dzięki wielkie mam jeszcze problem z jednym przykładem
\(\(f(x,y)=3x+4y, D={(x,y):-2 \le x \le 4, -1 \le y \le 3}\)}\)
policzyłam pochodne
\( \frac{df}{dx} =3\)
\( \frac{df}{dy} =4\)
czyli nie ma punktu krytycznego prawda?
pomożesz mi dalej to wyliczyć?

[panb]

wstawiasz: \(x=-2, \,\, -1\le y \le 3\\
x=4, \,\, -1\le y \le 3\\
y=-1, \,\,\, -2\le x \le 4 \\
y=3,\,\,\,-2\le x \le 4\)
i szukasz ekstremów tak powstałych funkcji. Rozumiesz, bo dość to mętnie brzmi?

[alanowakk]

czy chodzi o to dla pierwszego przedziału:
f(-2,y)=-6+4y czyli f(-2,y)min=-10 f(-2,y) max=6 ?

[panb]

Tak. Doskonale zrozumiałaś.

[alanowakk]

ok, dziękuję bardzo za pomoc:)

[Jerry]

ok, dziękuję bardzo za pomoc:)

To "łapka" w górę!