Obliczyć pracę siły

[MartaaKo]

Obliczyć pracę siły \(\vec{F} =-x \vec{i} -y \vec{j}\) potrzebnej do przemieszczenia punkt o masie jednostkowej wzdłuż łuku K będącego ćwiartką elipsy x=acost, y=bsint, \(0 \le t \le \) \(\frac{ \pi }{2}\) skierowaną zgodnie ze wzrostem parametru t.

[panb]

Obliczyć pracę siły \(\vec{F} =-x \vec{i} -y \vec{j}\) potrzebnej do przemieszczenia punkt o masie jednostkowej wzdłuż łuku K będącego ćwiartką elipsy x=acost, y=bsint, \(0 \le t \le \) \(\frac{ \pi }{2}\) skierowaną zgodnie ze wzrostem parametru t.

\[\displaystyle\vec{F}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j} \So W=\int_{K} P(x,y){dx}+Q(x,y){dy}=\int_{K} \left[ P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\right]{dt} \]

Tutaj \(P(x,y)=-x,\,\,\, Q(x,y)=-y\). Podstawiamy \( \begin{cases} x=a\cos t ,& x'(t)=-a\sin t\\y=bsin t, & y'=b\cos t\end{cases} \) i dostajemy
\[W= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \left[-a\cos t \cdot (-a\sin t)-b\sin t \cdot b\cos t \right]dt =(a^2-b^2) \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin t \cos t {dt}=\ldots = \frac{1}{2}(a^2-b^2) \]
---------------------------------
Ponieważ \( \frac{ \partial P}{ \partial y}=0= \frac{ \partial Q}{ \partial x} \), więc praca nie zależy od kształtu toru, a tylko od punktu początkowego i końcowego. Punkt początkowy \(A=(a,0)\) punkt końcowy \(B=(0,b)\), a odcinek łączący te punkty można opisać równaniami parametrycznymi \[ \begin{cases}x=a-at\\y=bt \end{cases}, 0\le t \le 1 \]
Jako ćwiczenie warto by policzyć \(\displaystyle \int_{0}^{1} \left[ P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\right]{dt}= \int_{0}^{1}(a^2-a^2t-b^2t){dt} \) i przekonać się, że wynik jest ten sam.