Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całkę po wskazanym obszarze

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Viki_V
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 12 maja 2020, 13:27
Podziękowania: 1 raz

Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całkę po wskazanym obszarze

Post autor: Viki_V »

Dzień dobry mam do zrobienia przykład z całek potrójnych. Najważniejsze jest znalezienie współrzędnych biegunowych bo z policzeniem sobie poradzę jednak nie jestem pewna tego co mi wyszło dlatego byłabym naprawdę wdzięczna gdyby ktoś mógł mnie poratować. Do tego sama doszłam ale czy jest dobrze to nie jestem pewna.

\( \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{}(xyz)dxdydx \)
\( U: \sqrt{x^2+y^2} \le z \le \sqrt{1-x^2-y^2} \)

Więc od początku:
\(x=rcost\)
\(y=rsint\)
\(z=h\)

\( \sqrt{r^2} \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( r \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( 1-r^2 \ge 0\)
\( 0 \le r \le 1 \)
\( 0\le t \le 2 \pi \)

Z tego wynika:
\( \int_{0}^{1} dt \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi }rcost \cdot rsint \cdot h \cdot rd \cdot h \)
Viki_V
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 12 maja 2020, 13:27
Podziękowania: 1 raz

Re: Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całkę po wskazanym obszarze

Post autor: Viki_V »

Pomyliłam się w podstawianiu granic ale wiadomo które gdzie powinny być
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całkę po wskazanym obszarze

Post autor: kerajs »

Viki_V pisze: 12 maja 2020, 13:47 \( \sqrt{r^2} \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( r \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( 1-r^2 \ge 0\)
\( 0 \le r \le 1 \)
\( 0\le t \le 2 \pi \)

Z tego wynika:
\( \int_{0}^{1} dt \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi }rcost \cdot rsint \cdot h \cdot rd \cdot h \)
Raczej:
\( r = \sqrt{1-r^2} \\
r^2=1-r^2\\
r= \frac{1}{ \sqrt{2} } \)

a wtedy:
\(...= \int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } ( \int_{r}^{ \sqrt{1-r^2} } r \cos t \cdot r \sin t \cdot h dh )rdr ) dt =...\)
Viki_V
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 12 maja 2020, 13:27
Podziękowania: 1 raz

Re: Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całkę po wskazanym obszarze

Post autor: Viki_V »

kerajs pisze: 12 maja 2020, 21:41
Viki_V pisze: 12 maja 2020, 13:47 \( \sqrt{r^2} \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( r \le h \le \sqrt{1-r^2} \)
\( 1-r^2 \ge 0\)
\( 0 \le r \le 1 \)
\( 0\le t \le 2 \pi \)

Z tego wynika:
\( \int_{0}^{1} dt \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi }rcost \cdot rsint \cdot h \cdot rd \cdot h \)
Raczej:
\( r = \sqrt{1-r^2} \\
r^2=1-r^2\\
r= \frac{1}{ \sqrt{2} } \)

a wtedy:
\(...= \int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } ( \int_{r}^{ \sqrt{1-r^2} } r \cos t \cdot r \sin t \cdot h dh )rdr ) dt =...\)
Serdecznie dziękuję za pomoc!
ODPOWIEDZ